Para resolver esta questão, marque a opção correta.
Sabendo que a Função de Transferência de um sistema é:
\frac{Y(s)}{R(s)}=\frac{15(s+1)}{s^{2}+9 s+14}.
Determine a saida y(t), considerando a entrada, r(t), como um sinal em degrau unitário.
Escolha uma opção: ◯



a. y(t)=1,05+1,7 \epsilon^{-7 t}-2,75 \epsilon^{-2 t}
b. y(t)=1,07+1,5 \epsilon^{-7 t}-2,57 \epsilon^{-2 t}
c. y(t)=1,07+1,5 \epsilon^{-2 t}-2,57 \epsilon^{-7 t}
d. y(t)=1,05+1,7 \epsilon^{-2 t}-2,75 \epsilon^{-7 t}

Passo 1

O enunciado dá a função de transferência e a entrada; pede a saída no tempo:
  • Função de transferência: \dfrac{Y(s)}{R(s)}=\dfrac{15(s+1)}{s^{2}+9s+14}.
  • Entrada: r(t) é um degrau unitário, logo R(s)=\dfrac{1}{s}.
    O que se pede: determinar y(t) para t\ge 0.

Passo 2

Formar Y(s) multiplicando a função de transferência por R(s):
Y(s)=\frac{15(s+1)}{s^{2}+9s+14}\cdot\frac{1}{s}=\frac{15(s+1)}{s(s^{2}+9s+14)}.

Passo 3

Fatorar o polinômio quadrático do denominador para ver os pólos:
s^{2}+9s+14=(s+7)(s+2).
Portanto
Y(s)=\frac{15(s+1)}{s(s+7)(s+2)}.

Passo 4

Explicar e configurar a decomposição em frações parciais.
Como os fatores do denominador são lineares e distintos, podemos escrever
\frac{15(s+1)}{s(s+7)(s+2)}=\frac{A}{s}+\frac{B}{s+7}+\frac{C}{s+2},
onde A,B,C são constantes a determinar. Essa forma é útil porque cada termo tem transformada inversa direta:
\mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s}\}=1 e \mathcal{L}^{-1}\{\tfrac{1}{s+a}\}=e^{-a t}.

Passo 5

Determinar A,B,C multiplicando por s(s+7)(s+2):
15(s+1)=A(s+7)(s+2)+B\,s(s+2)+C\,s(s+7).
Usar o método de avaliação nos pólos (substituir valores de s) é o mais direto.
  • Para s=0:
15(0+1)=15 = A(7)(2)=14A \quad\Rightarrow\quad A=\frac{15}{14}.
  • Para s=-7:
15(-7+1)=15(-6)=-90 = B(-7)(-5)=35B \quad\Rightarrow\quad B=\frac{-90}{35}=-\frac{18}{7}.
  • Para s=-2:
15(-2+1)=15(-1)=-15 = C(-2)(5)=-10C \quad\Rightarrow\quad C=\frac{-15}{-10}=\frac{3}{2}.
Assim:
A=\frac{15}{14},\qquad B=-\frac{18}{7},\qquad C=\frac{3}{2}.

Passo 6

Escrever Y(s) com os coeficientes encontrados:
Y(s)=\frac{15}{14}\cdot\frac{1}{s}-\frac{18}{7}\cdot\frac{1}{s+7}+\frac{3}{2}\cdot\frac{1}{s+2}.
Agora aplicar a transformada inversa de Laplace termo a termo:
\mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s}\right\}=1,\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+7}\right\}=e^{-7t},\qquad \mathcal{L}^{-1}\!\left\{\frac{1}{s+2}\right\}=e^{-2t}.
Portanto
y(t)=\frac{15}{14}-\frac{18}{7}e^{-7t}+\frac{3}{2}e^{-2t}\quad\text{para }t\ge 0.

Passo 7

Converter frações para valores decimais com vírgula (do jeito que as opções usam):
\frac{15}{14}=1,07\ldots,\qquad \frac{3}{2}=1,5,\qquad -\frac{18}{7}=-2,57\ldots
Logo, escrevendo de forma arredondada compatível com as alternativas:
y(t)=1,07+1,5\,e^{-2t}-2,57\,e^{-7t}.

Passo 8

Verificação rápida: o valor em regime permanente (t→∞) é y(\infty)=\dfrac{15}{14}\approx1,07, que é o ganho DC G(0)=\dfrac{15(0+1)}{0+0+14}=\dfrac{15}{14}. Isso bate com o termo constante encontrado — bom sinal.

Resposta

c.

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