Para resolver as questões de números 13 e 14, considere a matriz A=\left(\begin{array}{lll}1 & 1 & 1 \\\\ 2 & 3 & k \\\\ 1 & 0 & k\end{array}\right).
Determine k para o qual o determinante da matriz A é nulo.

Passo 1

O enunciado nos dá a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 1 & 1\\\\ 2 & 3 & k\\\\ 1 & 0 & k \end{pmatrix}
e pede os valores de k tais que \det(A)=0. O conteúdo aqui é cálculo de determinante de matriz 3\times3 e depois resolver uma equação do tipo \det(A)=0.

Passo 2

Vamos calcular \det(A) pela regra de Sarrus (ou expansão por cofatores). Usando expansão pela primeira linha,
\begin{aligned} \det(A) &=1\cdot\det\begin{pmatrix}3 & k\\\ 0 & k\end{pmatrix} -1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & k\\\ 1 & k\end{pmatrix} +1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 3\\\ 1 & 0\end{pmatrix}\\\ &=1\bigl(3\cdot k - k\cdot0\bigr) -1\bigl(2\cdot k - k\cdot1\bigr) +1\bigl(2\cdot0 - 3\cdot1\bigr)\\\ &=3k - (2k - k) - 3\\\ &=3k - k - 3\\\ &=2k - 3. \end{aligned}

Passo 3

Para que \det(A)=0, basta resolver
2k - 3 = 0.
Isolando k, obtemos
k = \frac{3}{2}.

Resposta

O valor de k que zera o determinante de A é
k = \frac{3}{2}.

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