16 (Unicap-PE) Calcule o valor de x, a fim de que o determinante da matriz A seja nulo.
A=\left(\begin{array}{ccc} 1 & 2 & 1 \\\\ 4 & 9 & 4 \\\\ 6 & x & x-7 \end{array}\right)

Passo 1

Resumindo: temos a matriz
A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 1\\\\ 4 & 9 & 4\\\\ 6 & x & x-7 \end{pmatrix}
e queremos encontrar x tal que \det(A)=0. O conteúdo usado aqui é o cálculo de determinante de matriz 3\times3, que pode ser feito por expansão de Laplace (por exemplo, ao longo da primeira linha).

Passo 2

Expandindo \det(A) pela primeira linha, obtemos
\det(A) =1\cdot\begin{vmatrix}9 & 4 \\\ x & x-7\end{vmatrix} -2\cdot\begin{vmatrix}4 & 4 \\\\ 6 & x-7\end{vmatrix} +1\cdot\begin{vmatrix}4 & 9 \\\\ 6 & x\end{vmatrix}.
Agora calculamos cada determinante de ordem 2:
\begin{vmatrix}9 & 4 \\\ x & x-7\end{vmatrix} =9(x-7)-4x=5x-63,
\begin{vmatrix}4 & 4 \\\\ 6 & x-7\end{vmatrix} =4(x-7)-4\cdot6=4x-52,
\begin{vmatrix}4 & 9 \\\\ 6 & x\end{vmatrix} =4x-9\cdot6=4x-54.

Passo 3

Substituindo esses valores na expansão, fica
\det(A)=(5x-63)-2(4x-52)+(4x-54) =5x-63-8x+104+4x-54 =x-13.

Passo 4

Para \det(A)=0, temos
x-13=0 \quad\Longrightarrow\quad x=13.

Resposta

13

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