1. Resolver o seguinte circuito elétrico (encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos e verificar as potências), considerando que v_{g 1}(t)=25 \operatorname{sen}\left(400 t+143,13^{\circ}\right) \mathrm{V} e v_{g 2}(t)= 18,03 \cos \left(400 t+33,69^{\circ}\right) V.

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei os valores dos componentes e a topologia do circuito a partir da imagem enviada.
Dados (retirados da figura):
  • Fonte 1: v_{g1}(t)=25\:\operatorname{sen}\!\bigl(400t+143{,}13^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Fonte 2: v_{g2}(t)=18{,}03\:\cos\!\bigl(400t+33{,}69^\circ\bigr)\\ \mathrm{V}.
  • Capacitor: C=50\\ \mu\mathrm{F}.
  • Indutor: L=50\\ \mathrm{mH}.
  • Resistência: R=150\\ \Omega.
  • Topologia: ramo esquerdo série v_{g1} com C ligado ao nó superior; ramo direito série L com v_{g2} ligado ao nó superior; resistor R entre o nó superior e o nó inferior (referência). (Esta descrição da topologia foi extraída da imagem.)
O que o enunciado pede:
  • Encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos (capacitor, indutor, resistor e em cada fonte).
  • Verificar as potências (potência aparente/ativa/reativa) dos bipolos.

Passo 2

Escolha do método e premissas úteis (explicação didática):
  • Como as fontes são senoidais em regime permanente e a frequência é \omega=400\\ \mathrm{rad/s}, o método mais direto é a representação em fasores (números complexos) e análise nodal no domínio dos fasores. Isso evita integrais/diferenciais no tempo e transforma impedâncias reativas em números complexos.
  • Regra prática de conversão de seno para cosseno: \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Vou usar fasores referidos ao cosseno (convenção usual).
  • Impedâncias (definição): Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C},\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_R=R.Em análise nodal trabalho com admitâncias Y=1/Z.
  • Convenção de sinais para as correntes: vou tomar as correntes dos ramos saindo do nó superior em direção a cada bipolo (essa escolha apenas fixa um sinal; se o resultado for negativo, significa que a corrente real tem sentido oposto).

Passo 3

Converter fontes para fasores e calcular as impedâncias numéricas (passo-a-passo):
  • Converter v_{g1}(t) para cosseno: v_{g1}(t)=25\sin(400t+143{,}13^\circ)=25\cos(400t+(143{,}13^\circ-90^\circ))=25\cos(400t+53{,}13^\circ).Logo o fasor da fonte 1 é \underline{V}_{g1}=25\angle53{,}13^\circ.Em forma retangular (para facilitar cálculo): \underline{V}_{g1}=25(\cos53{,}13^\circ+j\sin53{,}13^\circ)=25(0{,}6+j0{,}8)=15+j20\\ \mathrm{V}.
  • A fonte 2 já está em cosseno, então \underline{V}_{g2}=18{,}03\angle33{,}69^\circ.Em retangular (aproximação): \underline{V}_{g2}=18{,}03(\cos33{,}69^\circ+j\sin33{,}69^\circ)\approx15+j10\\ \mathrm{V}.(Observação: os números deram exatamente próximos a 15+j10 por construção.)
  • Calcular impedâncias com \omega=400\\ \mathrm{rad/s}: \omega C=400\cdot50\times10^{-6}=0{,}02,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}=-j50\\ \Omega.
\omega L=400\cdot50\times10^{-3}=20,\qquad Z_L=j\omega L=j20\\ \Omega.
  • Admitâncias: Y_C=\frac{1}{Z_C}=\frac{1}{-j50}=j0{,}02\\ \mathrm{S},
Y_L=\frac{1}{Z_L}=\frac{1}{j20}=-j0{,}05\\ \mathrm{S},
Y_R=\frac{1}{R}=\frac{1}{150}=0{,}006666\ldots\\ \mathrm{S}.

Passo 4

Equação nodal (montagem e explicação):
  • Denotando por \underline{V} o fasor da tensão do nó superior em relação ao nó inferior (referência), as correntes que saem do nó são: i_C=\frac{\underline{V}-\underline{V}_{g1}}{Z_C}=(\underline{V}-\underline{V}_{g1})Y_C,
i_L=\frac{\underline{V}-\underline{V}_{g2}}{Z_L}=(\underline{V}-\underline{V}_{g2})Y_L,
i_R=\frac{\underline{V}}{R}=\underline{V}Y_R.
(Explicação: por exemplo, no ramo do capacitor a diferença de potencial sobre o capacitor é \underline{V}-\underline{V}_{g1}; dividir por Z_C dá a corrente.)
  • Aplicando KCL (soma das correntes saindo do nó = 0): (\underline{V}-\underline{V}_{g1})Y_C+\underline{V}Y_R+(\underline{V}-\underline{V}_{g2})Y_L=0.Reagrupando: \underline{V}(Y_C+Y_R+Y_L)=\underline{V}_{g1}Y_C+\underline{V}_{g2}Y_L.Portanto \underline{V}=\frac{\underline{V}_{g1}Y_C+\underline{V}_{g2}Y_L}{Y_C+Y_R+Y_L}.

Passo 5

Substituição numérica e cálculo de \underline{V} (mostrar contas passo-a-passo):
  • Primeiro calcular numerador: \underline{V}_{g1}Y_C=(15+j20)\cdot j0{,}02Multiplicando: (15+j20)\cdot j0{,}02 = 15\cdot j0{,}02 + j20\cdot j0{,}02 = j0{,}3 + j^2 0{,}4 = -0{,}4 + j0{,}3.
\underline{V}_{g2}Y_L=(15+j10)\cdot(-j0{,}05)
Multiplicando:
(15+j10)\cdot(-j0{,}05) = -j0{,}75 + (-j)(j)0{,}5 = -j0{,}75 + 0{,}5.
Somando os dois termos:
\underline{N}=\underline{V}_{g1}Y_C+\underline{V}_{g2}Y_L = (-0{,}4+0{,}5) + j(0{,}3-0{,}75) = 0{,}1 - j0{,}45.
  • Denominador: Y_C+Y_R+Y_L = 0{,}006666\ldots + j(0{,}02-0{,}05)
=0{,}006666\ldots - j0{,}03.
  • Divisão: \underline{V}=\frac{0{,}1 - j0{,}45}{0{,}006666\ldots - j0{,}03}.Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador para realizar a divisão (detalhe aritmético): \frac{0{,}1 - j0{,}45}{0{,}0066667 - j0{,}03}\cdot\frac{0{,}0066667 + j0{,}03}{0{,}0066667 + j0{,}03}No produto do numerador obtemos (fazendo as contas): (0{,}1 - j0{,}45)(0{,}0066667 + j0{,}03)=0{,}0141666\;(\text{real})e o quadrado do módulo do denominador é 0{,}0066667^2+0{,}03^2\approx0{,}0009444444.Assim \underline{V}=\frac{0{,}0141666}{0{,}0009444444}=15{,}0\\ \mathrm{V}.Em forma de fasor: \underline{V}=15\angle0^\circ\\ \mathrm{V}.(Interpretação: o nó superior tem tensão constante de 15 V com referência ao nó inferior; o ângulo zero vem porque o resultado ficou puramente real na referência do cosseno.)

Passo 6

Cálculo das correntes nos bipolos (fasores) e tensões sobre eles:
  • Corrente no resistor (de cima para baixo, do nó para o terra), usando i_R=\underline{V}/R:
    \underline{I}_R=\frac{15\angle0^\circ}{150}=0{,}1\angle0^\circ\\ \mathrm{A}.
  • Tensão sobre o capacitor (diferença nó-superior menos terminal da fonte 1): \underline{V}_C=\underline{V}-\underline{V}_{g1}:
    \underline{V}_C=(15+j0)-(15+j20)=-j20=20\angle-90^\circ\\ \mathrm{V}.
    Corrente no capacitor (orientada do nó em direção à fonte 1):
    \underline{I}_C=(\underline{V}-\underline{V}_{g1})Y_C=\underline{V}_C\cdot Y_C=(-j20)\cdot(j0{,}02)=0{,}4\angle0^\circ\\ \mathrm{A}.
    (Resultado real positivo significa que, na convenção adotada, 0,4 A sai do nó em direção ao capacitor/fonte.)
  • Tensão sobre o indutor (diferença nó-superior menos terminal da fonte 2): \underline{V}_L=\underline{V}-\underline{V}_{g2}:
    \underline{V}_L=(15+j0)-(15+j10)=-j10=10\angle-90^\circ\\ \mathrm{V}.
    Corrente no indutor (orientada do nó em direção à fonte 2):
    \underline{I}_L=(\underline{V}-\underline{V}_{g2})Y_L=\underline{V}_L\cdot Y_L=(-j10)\cdot(-j0{,}05)=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A}.
    Observação sobre o sinal: \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ significa que, com a convenção “corrente saindo do nó”, o resultado negativo indica que a corrente real no ramo do indutor tem sentido oposto e tem magnitude 0{,}5\\ \mathrm{A} (ou seja, 0,5 A flui do gerador 2 para o nó).
  • Verificação de KCL numérica:
    \underline{I}_C+\underline{I}_R+\underline{I}_L=0{,}4+0{,}1-0{,}5=0,
    ok.

Passo 7

Converter os fasores para as formas no tempo (usar referência cosseno):
  • Nodo: \underline{V}=15\angle0^\circ\\ \mathrm{V} corresponde a v(t)=15\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Resistor: \underline{I}_R=0{,}1\angle0^\circ\\ \mathrm{A} corresponde a i_R(t)=0{,}1\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{A}.Tensão no resistor: v_R(t)=15\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Capacitor: \underline{I}_C=0{,}4\angle0^\circ\\ \mathrm{A} e \underline{V}_C=20\angle-90^\circ\\ \mathrm{V} correspondem a i_C(t)=0{,}4\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{A},
v_C(t)=20\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Indutor: \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A} e \underline{V}_L=10\angle-90^\circ\\ \mathrm{V}. Escrever a corrente no sentido convencional (do nó para a fonte) fica com sinal negativo; preferível expressar magnitude e indicar sentido:
    • Corrente no indutor (sentido de cima para baixo adotado): \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A} corresponde a i_L(t)=-0{,}5\cos(400t+0^\circ)=0{,}5\cos(400t+180^\circ)\\ \mathrm{A},o que significa que 0,5 A flui no sentido oposto ao adotado (ou seja, do gerador 2 para o nó).
    • Tensão no indutor: v_L(t)=10\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V}.

Passo 8

Cálculo de potências (explicando fórmula e sinais):
  • Fórmula geral em fasores (convenção passiva): potência complexa absorvida por um bipolo é \underline{S}=\underline{V}\,\underline{I}^*,onde \underline{V} é a tensão no bipolo (terminal onde a corrente \underline{I} entra) e \underline{I}^* é o conjugado complexo da corrente. A parte real é potência ativa P (W) e a parte imaginária é potência reativa Q (VAR). Para fontes, aplicar a mesma fórmula tomando \underline{I} como a corrente que entra no terminal positivo da fonte.
  • Resistor: \underline{S}_R=\underline{V}\,\underline{I}_R^*=15\angle0^\circ\cdot0{,}1\angle0^\circ=1{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{VA}.Portanto P_R=1{,}5\\ \mathrm{W}, Q_R=0\\ \mathrm{VAR}.
  • Capacitor: \underline{S}_C=\underline{V}_C\,\underline{I}_C^*=(20\angle-90^\circ)\cdot(0{,}4\angle0^\circ)=8\angle-90^\circ\\ \mathrm{VA}.Em retangular: \underline{S}_C=0 - j8\\ \mathrm{VA}. Assim P_C=0, Q_C=-8\\ \mathrm{VAR} (reativo capacitivo).
  • Indutor: \underline{S}_L=\underline{V}_L\,\underline{I}_L^*=(10\angle-90^\circ)\cdot(-0{,}5\angle0^\circ) .Observação: -0{,}5 pode ser tratado como 0{,}5\angle180^\circ, então \underline{S}_L=10\angle-90^\circ\cdot0{,}5\angle180^\circ=5\angle90^\circ,ou em retangular \underline{S}_L= j5\\ \mathrm{VA}. Assim P_L=0, Q_L=+5\\ \mathrm{VAR} (reativo indutivo).
  • Fontes:
    • Fonte 1: a corrente que entra no terminal positivo da fonte 1 é exatamente \underline{I}_{g1}=\underline{I}_C=0{,}4\angle0^\circ. Logo \underline{S}_{g1}=\underline{V}_{g1}\,\underline{I}_{g1}^*=(15+j20)\cdot0{,}4=6+j8\\ \mathrm{VA}.Assim P_{g1}=6\\ \mathrm{W} absorvidos (positivo); como é ideal, um valor positivo indica que a fonte está absorvendo energia — na prática, se somarmos sinais veremos se ela entrega ou recebe energia líquida.
    • Fonte 2: a corrente que entra no terminal positivo da fonte 2 (orientação positiva para a fonte) é \underline{I}_{g2}=\underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ. Então \underline{S}_{g2}=\underline{V}_{g2}\,\underline{I}_{g2}^*=(15+j10)\cdot(-0{,}5)= -7{,}5 - j5\\ \mathrm{VA}.Assim P_{g2}=-7{,}5\\ \mathrm{W} (ou seja, a fonte 2 entrega 7{,}5\\ \mathrm{W} ao circuito) e Q_{g2}=-5\\ \mathrm{VAR} (fonte 2 fornece reativo indutivo/consome reativo negativo).
  • Verificação global (soma de potências): \underline{S}_{\text{total}}=\underline{S}_R+\underline{S}_C+\underline{S}_L+\underline{S}_{g1}+\underline{S}_{g2}.Calculando: \underline{S}_R=1{,}5+j0,\quad \underline{S}_C=0-j8,\quad \underline{S}_L=0+j5,
\underline{S}_{g1}=6+j8,\quad \underline{S}_{g2}=-7{,}5-j5.
Somando todos:
(1{,}5+0+0+6-7{,}5) + j(0-8+5+8-5)=0 + j0.
A soma é zero, confirmando conservação de potência (bons sinais de consistência).

Passo 9

Resumo interpretativo e observações finais (didáticas e motivadoras):
  • Resultado intuitivo: o nó ficou com tensão fixa 15\\ \mathrm{V} (fase zero). O capacitor e indutor trocam corrente reativa entre as fontes; a resistência dissipa 1{,}5\\ \mathrm{W}. A fonte 2, no conjunto, fornece energia real líquida (7{,}5\\ \mathrm{W}) enquanto a fonte 1 absorve 6\\ \mathrm{W}; a diferença 1{,}5\\ \mathrm{W} é dissipada no resistor. Em reativo, o conjunto é capacitivo líquido ( Q_{\text{total}}=-3\\ \mathrm{VAR}).
  • Essas contas foram feitas com a técnica padrão de fasores + análise nodal. Se na prova pedirem outro método (por exemplo malha), poderia-se resolver, mas nodal é mais direto para nós com múltiplos ramos conectados a um nó comum.

Resposta

\underline{V}=15\angle0^\circ\\ \mathrm{V} (ou v(t)=15\cos(400t)\\ \mathrm{V})
\underline{I}_R=0{,}1\angle0^\circ\\ \mathrm{A} (ou i_R(t)=0{,}1\cos(400t)\\ \mathrm{A}), v_R(t)=15\cos(400t)\\ \mathrm{V}
\underline{V}_C=20\angle-90^\circ\\ \mathrm{V} (ou v_C(t)=20\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V})
\underline{I}_C=0{,}4\angle0^\circ\\ \mathrm{A} (ou i_C(t)=0{,}4\cos(400t)\\ \mathrm{A})
\underline{V}_L=10\angle-90^\circ\\ \mathrm{V} (ou v_L(t)=10\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V})
\underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A} (ou i_L(t)=-0{,}5\cos(400t)=0{,}5\cos(400t+180^\circ)\\ \mathrm{A}; sentido real: 0{,}5\\ \mathrm{A} do gerador 2 para o nó)
\underline{S}_R=1{,}5+j0\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_R=1{,}5\\ \mathrm{W},\\ Q_R=0\\ \mathrm{VAR}
\underline{S}_C=0-j8\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_C=0,\\ Q_C=-8\\ \mathrm{VAR}
\underline{S}_L=0+j5\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_L=0,\\ Q_L=+5\\ \mathrm{VAR}
\underline{S}_{g1}=6+j8\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{g1}=6\\ \mathrm{W},\\ Q_{g1}=+8\\ \mathrm{VAR}
\underline{S}_{g2}=-7{,}5-j5\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{g2}=-7{,}5\\ \mathrm{W} (fonte 2 entrega 7{,}5\\ \mathrm{W}), Q_{g2}=-5\\ \mathrm{VAR}

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