Resolver o seguinte circuito elétrico (encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos e verificar as potências), considerando que v_{g 1}(t)=25 \operatorname{sen}\left(400 t+143,13^{\circ}\right) \mathrm{V} e v_{g 2}(t)= 18,03 \cos \left(400 t+33,69^{\circ}\right) V.
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede. Peguei os valores dos componentes e a topologia do circuito a partir da imagem enviada.
Topologia: ramo esquerdo série v_{g1} com C ligado ao nó superior; ramo direito série L com v_{g2} ligado ao nó superior; resistor R entre o nó superior e o nó inferior (referência). (Esta descrição da topologia foi extraída da imagem.)
O que o enunciado pede:
Encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos (capacitor, indutor, resistor e em cada fonte).
Verificar as potências (potência aparente/ativa/reativa) dos bipolos.
Passo 2
Escolha do método e premissas úteis (explicação didática):
Como as fontes são senoidais em regime permanente e a frequência é \omega=400\\ \mathrm{rad/s}, o método mais direto é a representação em fasores (números complexos) e análise nodal no domínio dos fasores. Isso evita integrais/diferenciais no tempo e transforma impedâncias reativas em números complexos.
Regra prática de conversão de seno para cosseno: \operatorname{sen}(\theta)=\cos(\theta-90^\circ). Vou usar fasores referidos ao cosseno (convenção usual).
Impedâncias (definição):Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-\frac{j}{\omega C},\qquad Z_L=j\omega L,\qquad Z_R=R.Em análise nodal trabalho com admitâncias Y=1/Z.
Convenção de sinais para as correntes: vou tomar as correntes dos ramos saindo do nó superior em direção a cada bipolo (essa escolha apenas fixa um sinal; se o resultado for negativo, significa que a corrente real tem sentido oposto).
Passo 3
Converter fontes para fasores e calcular as impedâncias numéricas (passo-a-passo):
Converter v_{g1}(t) para cosseno:v_{g1}(t)=25\sin(400t+143{,}13^\circ)=25\cos(400t+(143{,}13^\circ-90^\circ))=25\cos(400t+53{,}13^\circ).Logo o fasor da fonte 1 é\underline{V}_{g1}=25\angle53{,}13^\circ.Em forma retangular (para facilitar cálculo):\underline{V}_{g1}=25(\cos53{,}13^\circ+j\sin53{,}13^\circ)=25(0{,}6+j0{,}8)=15+j20\\ \mathrm{V}.
A fonte 2 já está em cosseno, então\underline{V}_{g2}=18{,}03\angle33{,}69^\circ.Em retangular (aproximação):\underline{V}_{g2}=18{,}03(\cos33{,}69^\circ+j\sin33{,}69^\circ)\approx15+j10\\ \mathrm{V}.(Observação: os números deram exatamente próximos a 15+j10 por construção.)
Calcular impedâncias com \omega=400\\ \mathrm{rad/s}:\omega C=400\cdot50\times10^{-6}=0{,}02,\qquad Z_C=\frac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}=-j50\\ \Omega.
Denotando por \underline{V} o fasor da tensão do nó superior em relação ao nó inferior (referência), as correntes que saem do nó são:i_C=\frac{\underline{V}-\underline{V}_{g1}}{Z_C}=(\underline{V}-\underline{V}_{g1})Y_C,
(Explicação: por exemplo, no ramo do capacitor a diferença de potencial sobre o capacitor é \underline{V}-\underline{V}_{g1}; dividir por Z_C dá a corrente.)
Aplicando KCL (soma das correntes saindo do nó = 0):(\underline{V}-\underline{V}_{g1})Y_C+\underline{V}Y_R+(\underline{V}-\underline{V}_{g2})Y_L=0.Reagrupando:\underline{V}(Y_C+Y_R+Y_L)=\underline{V}_{g1}Y_C+\underline{V}_{g2}Y_L.Portanto\underline{V}=\frac{\underline{V}_{g1}Y_C+\underline{V}_{g2}Y_L}{Y_C+Y_R+Y_L}.
Passo 5
Substituição numérica e cálculo de \underline{V} (mostrar contas passo-a-passo):
Divisão:\underline{V}=\frac{0{,}1 - j0{,}45}{0{,}006666\ldots - j0{,}03}.Multiplicando numerador e denominador pelo conjugado do denominador para realizar a divisão (detalhe aritmético):\frac{0{,}1 - j0{,}45}{0{,}0066667 - j0{,}03}\cdot\frac{0{,}0066667 + j0{,}03}{0{,}0066667 + j0{,}03}No produto do numerador obtemos (fazendo as contas):(0{,}1 - j0{,}45)(0{,}0066667 + j0{,}03)=0{,}0141666\;(\text{real})e o quadrado do módulo do denominador é0{,}0066667^2+0{,}03^2\approx0{,}0009444444.Assim\underline{V}=\frac{0{,}0141666}{0{,}0009444444}=15{,}0\\ \mathrm{V}.Em forma de fasor:\underline{V}=15\angle0^\circ\\ \mathrm{V}.(Interpretação: o nó superior tem tensão constante de 15 V com referência ao nó inferior; o ângulo zero vem porque o resultado ficou puramente real na referência do cosseno.)
Passo 6
Cálculo das correntes nos bipolos (fasores) e tensões sobre eles:
Corrente no resistor (de cima para baixo, do nó para o terra), usando i_R=\underline{V}/R:
Observação sobre o sinal: \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ significa que, com a convenção “corrente saindo do nó”, o resultado negativo indica que a corrente real no ramo do indutor tem sentido oposto e tem magnitude 0{,}5\\ \mathrm{A} (ou seja, 0,5 A flui do gerador 2 para o nó).
Resistor: \underline{I}_R=0{,}1\angle0^\circ\\ \mathrm{A} corresponde ai_R(t)=0{,}1\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{A}.Tensão no resistor: v_R(t)=15\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{V}.
Capacitor: \underline{I}_C=0{,}4\angle0^\circ\\ \mathrm{A} e \underline{V}_C=20\angle-90^\circ\\ \mathrm{V} correspondem ai_C(t)=0{,}4\cos(400t+0^\circ)\\ \mathrm{A},
v_C(t)=20\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V}.
Indutor: \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A} e \underline{V}_L=10\angle-90^\circ\\ \mathrm{V}. Escrever a corrente no sentido convencional (do nó para a fonte) fica com sinal negativo; preferível expressar magnitude e indicar sentido:
Corrente no indutor (sentido de cima para baixo adotado): \underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ\\ \mathrm{A} corresponde ai_L(t)=-0{,}5\cos(400t+0^\circ)=0{,}5\cos(400t+180^\circ)\\ \mathrm{A},o que significa que 0,5 A flui no sentido oposto ao adotado (ou seja, do gerador 2 para o nó).
Tensão no indutor:v_L(t)=10\cos(400t-90^\circ)\\ \mathrm{V}.
Passo 8
Cálculo de potências (explicando fórmula e sinais):
Fórmula geral em fasores (convenção passiva): potência complexa absorvida por um bipolo é\underline{S}=\underline{V}\,\underline{I}^*,onde \underline{V} é a tensão no bipolo (terminal onde a corrente \underline{I} entra) e \underline{I}^* é o conjugado complexo da corrente. A parte real é potência ativa P (W) e a parte imaginária é potência reativa Q (VAR). Para fontes, aplicar a mesma fórmula tomando \underline{I} como a corrente que entra no terminal positivo da fonte.
Indutor:\underline{S}_L=\underline{V}_L\,\underline{I}_L^*=(10\angle-90^\circ)\cdot(-0{,}5\angle0^\circ) .Observação: -0{,}5 pode ser tratado como 0{,}5\angle180^\circ, então\underline{S}_L=10\angle-90^\circ\cdot0{,}5\angle180^\circ=5\angle90^\circ,ou em retangular \underline{S}_L= j5\\ \mathrm{VA}. Assim P_L=0, Q_L=+5\\ \mathrm{VAR} (reativo indutivo).
Fontes:
Fonte 1: a corrente que entra no terminal positivo da fonte 1 é exatamente \underline{I}_{g1}=\underline{I}_C=0{,}4\angle0^\circ. Logo\underline{S}_{g1}=\underline{V}_{g1}\,\underline{I}_{g1}^*=(15+j20)\cdot0{,}4=6+j8\\ \mathrm{VA}.Assim P_{g1}=6\\ \mathrm{W} absorvidos (positivo); como é ideal, um valor positivo indica que a fonte está absorvendo energia — na prática, se somarmos sinais veremos se ela entrega ou recebe energia líquida.
Fonte 2: a corrente que entra no terminal positivo da fonte 2 (orientação positiva para a fonte) é \underline{I}_{g2}=\underline{I}_L=-0{,}5\angle0^\circ. Então\underline{S}_{g2}=\underline{V}_{g2}\,\underline{I}_{g2}^*=(15+j10)\cdot(-0{,}5)= -7{,}5 - j5\\ \mathrm{VA}.Assim P_{g2}=-7{,}5\\ \mathrm{W} (ou seja, a fonte 2 entrega 7{,}5\\ \mathrm{W} ao circuito) e Q_{g2}=-5\\ \mathrm{VAR} (fonte 2 fornece reativo indutivo/consome reativo negativo).
Verificação global (soma de potências):\underline{S}_{\text{total}}=\underline{S}_R+\underline{S}_C+\underline{S}_L+\underline{S}_{g1}+\underline{S}_{g2}.Calculando:\underline{S}_R=1{,}5+j0,\quad \underline{S}_C=0-j8,\quad \underline{S}_L=0+j5,
A soma é zero, confirmando conservação de potência (bons sinais de consistência).
Passo 9
Resumo interpretativo e observações finais (didáticas e motivadoras):
Resultado intuitivo: o nó ficou com tensão fixa 15\\ \mathrm{V} (fase zero). O capacitor e indutor trocam corrente reativa entre as fontes; a resistência dissipa 1{,}5\\ \mathrm{W}. A fonte 2, no conjunto, fornece energia real líquida (7{,}5\\ \mathrm{W}) enquanto a fonte 1 absorve 6\\ \mathrm{W}; a diferença 1{,}5\\ \mathrm{W} é dissipada no resistor. Em reativo, o conjunto é capacitivo líquido (Q_{\text{total}}=-3\\ \mathrm{VAR}).
Essas contas foram feitas com a técnica padrão de fasores + análise nodal. Se na prova pedirem outro método (por exemplo malha), poderia-se resolver, mas nodal é mais direto para nós com múltiplos ramos conectados a um nó comum.