1. Resolver o seguinte circuito elétrico (encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos e verificar as potências), considerando que i_{g}(t)=5 \cos (2.500 t) A e v_{g}(t)=20 \cos (2.500 t+ \left.90^{\circ}\right) \mathrm{V}.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos do circuito e verificar as potências, dado:
  • A fonte de corrente i_{g}(t)=5\cos(2\,500\,t) A.
  • A fonte de tensão v_{g}(t)=20\cos(2\,500\,t+90^\circ) V.
  • Existem três ramos entre os nós laterais: um capacitor 100\,\mu\mathrm{F} no ramo superior (entre o nó esquerdo e o nó direito), um ramo central formado por um capacitor 50\,\mu\mathrm{F} (entre nó esquerdo e nó central) e em seguida um resistor 12\,\Omega (entre nó central e nó direito), e um indutor 1{,}6\,\mathrm{mH} entre o nó central e o terra.
  • As fontes estão conectadas: a fonte de corrente entre terra e nó esquerdo (seta indicando corrente para o nó esquerdo) e a fonte de tensão entre nó direito e terra com a polaridade mostrada. (Peguei estes dados da figura enviada.)
O que se pede explicitamente:
  • Encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos (cada capacitor, o resistor, o indutor, as duas fontes).
  • Calcular/verificar as potências (potência média ativa e reativa) de cada elemento e verificar balanço de potência.

Passo 2

Transformação para regime senoidal estacionário (análise fasorial).
  • A frequência angular é \omega=2\,500\\ \mathrm{rad/s}.
  • Convertemos cada fonte e cada elemento para fasores e impedâncias complexas:
    • Fasores das fontes (referência escolhida: cosseno com fase zero): I_g = 5\angle 0^\circ\\ \mathrm{A},\qquad V_g = 20\angle 90^\circ\\ \mathrm{V}.
    • Impedâncias dos elementos: Z_{C1}=\frac{1}{j\omega C_{1}}=\frac{1}{j(2\,500)(100\times10^{-6})}=-j4\\ \Omega,
Z_{C2}=\frac{1}{j\omega C_{2}}=\frac{1}{j(2\,500)(50\times10^{-6})}=-j8\\ \Omega,
Z_{L}=j\omega L=j(2\,500)(1{,}6\times10^{-3})=j4\\ \Omega.
  • Admittâncias úteis: Y_{C1}=\frac{1}{Z_{C1}}=j0{,}25\\ \mathrm{S},\qquad Y_{C2}=j0{,}125\\ \mathrm{S},\qquad G=\frac{1}{12}=0{,}083333\\ \mathrm{S},\qquad Y_{L}=\frac{1}{Z_{L}}=-j0{,}25\\ \mathrm{S}.

Passo 3

Montagem das equações nodais (nos três nós: nó esquerdo A, nó central B, nó direito C — o nó direito tem tensão fixa V_C=V_g em fasor).
  • Denotar as tensões nodais fasoriais V_A, V_B, V_C.
  • Como V_C=V_g=20\angle 90^\circ V, só precisamos de equações para V_A e V_B.
  • KCL no nó A (correntes de A para as impugnações): (V_A-V_C)Y_{C1}+(V_A-V_B)Y_{C2}=I_g.
  • KCL no nó B: (V_B-V_A)Y_{C2}+(V_B-V_C)G+V_B Y_{L}=0.

Passo 4

Substituir os valores numéricos das admitâncias e do V_C e simplificar as equações.
  • Escrevendo as equações com números: V_A(j0{,}25+j0{,}125)-V_B(j0{,}125)-V_C(j0{,}25)=I_g,
-V_A(j0{,}125)+V_B(j0{,}125+0{,}083333-j0{,}25)-V_C(0{,}083333)=0.
  • Calcular o termo j0{,}25\,V_C com V_C=20\angle90^\circ = j20. Observa-se: j0{,}25\cdot V_C = j0{,}25\cdot j20 = -5.
  • Então a primeira equação fica: j0{,}375\,V_A - j0{,}125\,V_B = I_g + 5 - 5 \quad\Rightarrow\quad j0{,}375\,V_A - j0{,}125\,V_B = 0,que implica V_A=\frac{1}{3}V_B.
  • A segunda equação com V_C=j20 dá (após reorganizar): -j0{,}125\,V_A + (0{,}083333 - j0{,}125)\,V_B = 0{,}083333\cdot j20 = j\frac{20}{12}=j1{,}6666667.

Passo 5

Resolver o sistema substituindo V_A=\dfrac{1}{3}V_B.
  • Substituição e simplificação: \Big(0{,}083333 - j0{,}1666667\Big)\,V_B = j1{,}6666667.
  • Divisão complexa: V_B = \frac{j1{,}6666667}{0{,}083333 - j0{,}1666667} = -8 + j4\\ \text{(V)}.(em forma retangular). Em módulo e fase: V_B = 8{,}9443\angle 153{,}435^\circ\\ \text{V}.
  • Então V_A=\frac{1}{3}V_B=-2{,}6666667 + j1{,}3333333 = 2{,}9814\angle 153{,}435^\circ\\ \text{V}.
  • Recordando V_C=20\angle 90^\circ = j20\\ \text{V}.

Passo 6

Calcular as correntes em cada bipolo (usar as leis de Ohm fasorial: I=(V^+ - V^-)/Z).
  • Corrente no capacitor superior C1 (do nó A para o nó C): I_{C1}=\frac{V_A-V_C}{Z_{C1}}=\frac{(-2{,}6667 - j18{,}6667)}{-j4}=4{,}666667 - j0{,}666667\\ \text{A},
I_{C1}=4{,}7140\angle -8{,}130^\circ\\ \text{A}.
  • Corrente no capacitor C2 (do nó A para o nó B): I_{C2}=\frac{V_A-V_B}{Z_{C2}}=\frac{5{,}333333 - j2{,}666667}{-j8}=0{,}333333 + j0{,}666667\\ \text{A},
I_{C2}=0{,}7454\angle 63{,}435^\circ\\ \text{A}.
(Confirmação rápida: I_{C1}+I_{C2}=I_g=5\angle0^\circ.)
  • Corrente no resistor 12\,\Omega (do nó B para o nó C): I_{R}=\frac{V_B-V_C}{12}=\frac{-8 - j16}{12}=-0{,}6666667 - j1{,}3333333\\ \text{A},
I_{R}=1{,}4907\angle -116{,}565^\circ\\ \text{A}.
  • Corrente no indutor L (do nó B para o terra): I_{L}=\frac{V_B-0}{Z_{L}}=\frac{-8 + j4}{j4}=1 + j2\\ \text{A},
I_{L}=2{,}2361\angle 63{,}435^\circ\\ \text{A}.

Passo 7

Obter as tensões em cada bipolo (já temos as tensões nodais; calcular diferença de nós para cada bipolo) e escrever as formas temporais.
  • Tensão no capacitor C1 (entre A e C): V_{C1}=V_A-V_C=-2{,}6667 - j18{,}6667 V, |V_{C1}|=18{,}865\angle -98{,}130^\circ\quad\Rightarrow\quad v_{C1}(t)=18{,}865\cos(2\,500\,t-98{,}130^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no capacitor C2 (entre A e B): V_{C2}=V_A-V_B=5{,}3333 - j2{,}6667 V, |V_{C2}|=5{,}966\angle -26{,}565^\circ\quad\Rightarrow\quad v_{C2}(t)=5{,}966\cos(2\,500\,t-26{,}565^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no resistor R (entre B e C): V_R=V_B-V_C=-8 - j16 V, |V_R|=17{,}8885\angle -116{,}565^\circ\quad\Rightarrow\quad v_R(t)=17{,}8885\cos(2\,500\,t-116{,}565^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Tensão no indutor L (entre B e terra): V_L=V_B=-8 + j4 V, |V_L|=8{,}9443\angle 153{,}435^\circ\quad\Rightarrow\quad v_L(t)=8{,}9443\cos(2\,500\,t+153{,}435^\circ)\\ \mathrm{V}.
  • Tensões das fontes já conhecidas: v_g(t)=20\cos(2\,500\,t+90^\circ)\\ \mathrm{V},\qquad i_g(t)=5\cos(2\,500\,t)\\ \mathrm{A}.

Passo 8

Cálculo das potências complexas (usar a convenção fasorial com fator 1/2): para cada elemento
S=\frac{1}{2}V\,I^{*},
onde V e I são fasores de amplitude (não RMS) e I^{*} é o conjugado.
Calcular potências por elemento (valores arredondados):
  • Capacitor C1: S_{C1}=\tfrac{1}{2}V_{C1}I_{C1}^{*}\approx 0 - j44{,}444\\ \mathrm{VA},ou seja P_{C1}\approx 0\\ \mathrm{W}, Q_{C1}\approx -44{,}444\\ \mathrm{VAR} (capacitivo).
  • Capacitor C2: S_{C2}\approx 0 - j2{,}222\\ \mathrm{VA},ou seja P_{C2}\approx 0\\ \mathrm{W}, Q_{C2}\approx -2{,}222\\ \mathrm{VAR}.
  • Resistor R: S_{R}=\tfrac{1}{2}V_{R}I_{R}^{*}\approx 13{,}333 + j0\\ \mathrm{VA},ou seja P_{R}=13{,}333\\ \mathrm{W}, Q_{R}=0.
  • Indutor L: S_{L}\approx 0 + j10\\ \mathrm{VA},ou seja P_{L}\approx 0\\ \mathrm{W}, Q_{L}\approx +10\\ \mathrm{VAR} (indutivo).

Passo 9

Potências das fontes e verificação do balanço de potências.
  • Potência da fonte de tensão v_g: a corrente que ela fornece é I_{g_{\text{(fonte de tensão)}}}=(V_C-V_A)/Z_{C1}+(V_C-V_B)/12=-4 + j2\\ \text{A}.ãEntão S_{v_g}=\tfrac{1}{2}V_g I_{g_{\text{(fonte de tensão)}}}^{*} =20 - j40\\ \mathrm{VA},ãou seja P_{v_g}=20\\ \mathrm{W}, Q_{v_g}=-40\\ \mathrm{VAR}.
  • Potência da fonte de corrente i_g: usando V_A e I_g, S_{i_g}=\tfrac{1}{2}V_A I_g^{*}=-6{,}6667 + j3{,}3333\\ \mathrm{VA},ou seja P_{i_g}=-6{,}6667\\ \mathrm{W} (o sinal negativo indica que a fonte de corrente fornece 6{,}6667\\ \mathrm{W} ao circuito) e Q_{i_g}=+3{,}3333\\ \mathrm{VAR}.
  • Verificação do balanço de potências ativas: P_{v_g}+P_{i_g}=20 + (-6{,}6667)=13{,}3333\\ \mathrm{W}=P_R,ou seja as potências ativas das fontes atendem exatamente a potência dissipada no resistor.
  • Verificação do balanço reativo: Q_{v_g}+Q_{i_g}=(-40)+3{,}3333=-36{,}6667\\ \mathrm{VAR},e somando os reativos dos elementos: Q_{C1}+Q_{C2}+Q_{L}+Q_{R} = (-44{,}444)+(-2{,}222)+10+0 \approx -36{,}666\\ \mathrm{VAR},consistente (pequenas diferenças de arredondamento).

Resposta

Vértices nodais (fasores):
V_A = -2{,}6667 + j1{,}3333 = 2{,}9814\angle 153{,}435^\circ\\ \mathrm{V}
V_B = -8 + j4 = 8{,}9443\angle 153{,}435^\circ\\ \mathrm{V}
V_C = 20\angle 90^\circ = j20\\ \mathrm{V}
Tensões e correntes em cada bipolo (fasor e forma temporal):
C1 (100 \muF):
V_{C1}=V_A-V_C=-2{,}6667 - j18{,}6667 = 18{,}865\angle -98{,}130^\circ\\ \mathrm{V}
v_{C1}(t)=18{,}865\cos(2\,500\,t-98{,}130^\circ)\\ \mathrm{V}
I_{C1}=4{,}6667 - j0{,}6667 = 4{,}7140\angle -8{,}130^\circ\\ \mathrm{A}
i_{C1}(t)=4{,}7140\cos(2\,500\,t-8{,}130^\circ)\\ \mathrm{A}
C2 (50 \muF):
V_{C2}=V_A-V_B=5{,}3333 - j2{,}6667 = 5{,}966\angle -26{,}565^\circ\\ \mathrm{V}
v_{C2}(t)=5{,}966\cos(2\,500\,t-26{,}565^\circ)\\ \mathrm{V}
I_{C2}=0{,}3333 + j0{,}6667 = 0{,}7454\angle 63{,}435^\circ\\ \mathrm{A}
i_{C2}(t)=0{,}7454\cos(2\,500\,t+63{,}435^\circ)\\ \mathrm{A}
R (12 \Omega):
V_{R}=V_B-V_C=-8 - j16 = 17{,}8885\angle -116{,}565^\circ\\ \mathrm{V}
v_{R}(t)=17{,}8885\cos(2\,500\,t-116{,}565^\circ)\\ \mathrm{V}
I_{R}=(-0{,}6667 - j1{,}3333)=1{,}4907\angle -116{,}565^\circ\\ \mathrm{A}
i_{R}(t)=1{,}4907\cos(2\,500\,t-116{,}565^\circ)\\ \mathrm{A}
L (1{,}6 mH):
V_{L}=V_B=-8 + j4 = 8{,}9443\angle 153{,}435^\circ\\ \mathrm{V}
v_{L}(t)=8{,}9443\cos(2\,500\,t+153{,}435^\circ)\\ \mathrm{V}
I_{L}=1 + j2 = 2{,}2361\angle 63{,}435^\circ\\ \mathrm{A}
i_{L}(t)=2{,}2361\cos(2\,500\,t+63{,}435^\circ)\\ \mathrm{A}
Fontes:
v_g(t)=20\cos(2\,500\,t+90^\circ)\\ \mathrm{V} com corrente fornecida I_{v_g}=-4 + j2\\ \mathrm{A} (fasor).
i_g(t)=5\cos(2\,500\,t)\\ \mathrm{A} com V_A dado acima.
Potências (complexas, média ativa P e reativa Q; arredondadas):
S_{C1}\approx 0 - j44{,}444\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{C1}\approx 0\\ \mathrm{W},\\ Q_{C1}\approx -44{,}444\\ \mathrm{VAR}.
S_{C2}\approx 0 - j2{,}222\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{C2}\approx 0\\ \mathrm{W},\\ Q_{C2}\approx -2{,}222\\ \mathrm{VAR}.
S_{R}\approx 13{,}333 + j0\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{R}=13{,}333\\ \mathrm{W},\\ Q_{R}=0.
S_{L}\approx 0 + j10\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{L}\approx 0\\ \mathrm{W},\\ Q_{L}\approx +10\\ \mathrm{VAR}.
Fontes:
S_{v_g}\approx 20 - j40\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{v_g}=20\\ \mathrm{W},\\ Q_{v_g}=-40\\ \mathrm{VAR}.
S_{i_g}\approx -6{,}6667 + j3{,}3333\\ \mathrm{VA} \Rightarrow P_{i_g}=-6{,}6667\\ \mathrm{W} (sinal negativo indica que a fonte de corrente fornece 6{,}6667\\ \mathrm{W} ao circuito), Q_{i_g}=+3{,}3333\\ \mathrm{VAR}.
Balanços verificados:
Potência ativa: P_{v_g}+P_{i_g}=20 + (-6{,}6667)=13{,}3333\\ \mathrm{W}=P_R.
Potência reativa: Q_{v_g}+Q_{i_g}=-40+3{,}3333=-36{,}6667\\ \mathrm{VAR} e Q_{C1}+Q_{C2}+Q_L=-44{,}444-2{,}222+10\approx -36{,}666\\ \mathrm{VAR}.

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