Uma tensão senoidal é igual a zero em t=(40 / 3) \mathrm{ms} e aumenta a uma taxa de 750 \pi \mathrm{~V} / \mathrm{s}. A amplitude máxima da tensão é 50 V .
b) Qual é a expressão para v ?
Passo 1
Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
Foi dito que a tensão senoidal é igual a zero em t=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms}.
Em t=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} a tensão aumenta com taxa de \,750\pi\\ \mathrm{V/s} (ou seja, \left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s}).
A amplitude máxima (valor de pico) da tensão é 50\\ \mathrm{V}.
O problema pede: encontre a expressão para v(t) (presumivelmente no formato de uma senoide com amplitude, frequência angular e fase).
Passo 2
Apresentar a forma geral de uma tensão senoidal e a sua derivada, e explicar o significado das variáveis.
Forma usual (muito usada em provas) para uma senoide com amplitude pico:v(t)=V_m\sin\!\big(\omega t+\varphi\big),onde:
V_m é a amplitude de pico (em \mathrm{V}),
\omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
\varphi é a fase inicial (em \mathrm{rad}),
t é o tempo (em \mathrm{s}).
A derivada em relação ao tempo é (usando regra da cadeia):\frac{dv}{dt}=V_m\omega\cos\!\big(\omega t+\varphi\big).Explicação rápida: a derivada de \sin(\cdot) é \cos(\cdot) e multiplicamos pelo fator \omega vindo da derivada do argumento \omega t+\varphi.
Passo 3
Aplicar as condições dadas em t_0=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} e traduzir isso em equações.
Primeiro converto t_0 para segundos (para usar unidades consistentes):t_0=\frac{40}{3}\,\mathrm{ms}=\frac{40}{3}\times10^{-3}\,\mathrm{s}.
Condição v(t_0)=0 implica, pela forma \;v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi)\;, que\sin\!\big(\omega t_0+\varphi\big)=0.As soluções de \sin(\theta)=0 são \theta=n\pi com inteiro n. Logo\omega t_0+\varphi=n\pi\qquad(n\in\mathbb{Z}).
Condição da derivada \left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s} dáV_m\omega\cos\!\big(\omega t_0+\varphi\big)=750\pi.Mas como \omega t_0+\varphi=n\pi, temos \cos(n\pi)=(-1)^n. EntãoV_m\omega(-1)^n=750\pi.
Passo 4
Usar V_m=50\\ \mathrm{V} e resolver para \omega e \varphi, tomando cuidado com o sinal.
Substituindo V_m=50 na equação da derivada:50\omega(-1)^n=750\pi.Divide ambos os lados por 50:\omega(-1)^n=15\pi.
A frequência angular \omega é uma quantidade positiva por definição, então o fator (-1)^n deve ser +1. Isso significa que n é par (por exemplo n=0,2,\dots). Portanto\omega=15\pi\\ \mathrm{rad/s}.(Se n fosse ímpar, \omega seria negativo, o que não é fisicamente a convenção para \omega.)
Agora uso \omega t_0+\varphi=n\pi. Escolhendo o menor caso simples n=0 (equivalente a escolher a fase módulo 2\pi), obtemos\varphi=-\omega t_0.Substituo \omega=15\pi e t_0=\dfrac{40}{3}\times10^{-3}\,\mathrm{s}:\varphi=-15\pi\cdot\frac{40}{3}\times10^{-3}.Faço as contas com calma:15\cdot\frac{40}{3}=15\cdot\frac{40}{3}=\frac{600}{3}=200,então\varphi=-200\times10^{-3}\pi=-0{,}2\pi=-\frac{\pi}{5}\\ \text{rad}.
Passo 5
Resumo dos parâmetros encontrados e observação final.