1. Uma tensão senoidal é igual a zero em t=(40 / 3) \mathrm{ms} e aumenta a uma taxa de 750 \pi \mathrm{~V} / \mathrm{s}. A amplitude máxima da tensão é 50 V .
b) Qual é a expressão para v ?

Passo 1

Vou listar claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Foi dito que a tensão senoidal é igual a zero em t=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms}.
  • Em t=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} a tensão aumenta com taxa de \,750\pi\\ \mathrm{V/s} (ou seja, \left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s}).
  • A amplitude máxima (valor de pico) da tensão é 50\\ \mathrm{V}.
  • O problema pede: encontre a expressão para v(t) (presumivelmente no formato de uma senoide com amplitude, frequência angular e fase).

Passo 2

Apresentar a forma geral de uma tensão senoidal e a sua derivada, e explicar o significado das variáveis.
  • Forma usual (muito usada em provas) para uma senoide com amplitude pico: v(t)=V_m\sin\!\big(\omega t+\varphi\big),onde:
    • V_m é a amplitude de pico (em \mathrm{V}),
    • \omega é a frequência angular (em \mathrm{rad/s}),
    • \varphi é a fase inicial (em \mathrm{rad}),
    • t é o tempo (em \mathrm{s}).
  • A derivada em relação ao tempo é (usando regra da cadeia): \frac{dv}{dt}=V_m\omega\cos\!\big(\omega t+\varphi\big).Explicação rápida: a derivada de \sin(\cdot) é \cos(\cdot) e multiplicamos pelo fator \omega vindo da derivada do argumento \omega t+\varphi.

Passo 3

Aplicar as condições dadas em t_0=\dfrac{40}{3}\,\mathrm{ms} e traduzir isso em equações.
  • Primeiro converto t_0 para segundos (para usar unidades consistentes): t_0=\frac{40}{3}\,\mathrm{ms}=\frac{40}{3}\times10^{-3}\,\mathrm{s}.
  • Condição v(t_0)=0 implica, pela forma \;v(t)=V_m\sin(\omega t+\varphi)\;, que \sin\!\big(\omega t_0+\varphi\big)=0.As soluções de \sin(\theta)=0 são \theta=n\pi com inteiro n. Logo \omega t_0+\varphi=n\pi\qquad(n\in\mathbb{Z}).
  • Condição da derivada \left.\dfrac{dv}{dt}\right|_{t_0}=750\pi\\ \mathrm{V/s} V_m\omega\cos\!\big(\omega t_0+\varphi\big)=750\pi.Mas como \omega t_0+\varphi=n\pi, temos \cos(n\pi)=(-1)^n. Então V_m\omega(-1)^n=750\pi.

Passo 4

Usar V_m=50\\ \mathrm{V} e resolver para \omega e \varphi, tomando cuidado com o sinal.
  • Substituindo V_m=50 na equação da derivada: 50\omega(-1)^n=750\pi.Divide ambos os lados por 50: \omega(-1)^n=15\pi.
  • A frequência angular \omega é uma quantidade positiva por definição, então o fator (-1)^n deve ser +1. Isso significa que n é par (por exemplo n=0,2,\dots). Portanto \omega=15\pi\\ \mathrm{rad/s}.(Se n fosse ímpar, \omega seria negativo, o que não é fisicamente a convenção para \omega.)
  • Agora uso \omega t_0+\varphi=n\pi. Escolhendo o menor caso simples n=0 (equivalente a escolher a fase módulo 2\pi), obtemos \varphi=-\omega t_0.Substituo \omega=15\pi e t_0=\dfrac{40}{3}\times10^{-3}\,\mathrm{s}: \varphi=-15\pi\cdot\frac{40}{3}\times10^{-3}.Faço as contas com calma: 15\cdot\frac{40}{3}=15\cdot\frac{40}{3}=\frac{600}{3}=200,então \varphi=-200\times10^{-3}\pi=-0{,}2\pi=-\frac{\pi}{5}\\ \text{rad}.

Passo 5

Resumo dos parâmetros encontrados e observação final.
  • Amplitude: V_m=50\\ \mathrm{V}.
  • Frequência angular: \omega=15\pi\\ \mathrm{rad/s}.
  • Fase inicial: \varphi=-\dfrac{\pi}{5}\\ \mathrm{rad}.
A partir desses parâmetros monta-se a expressão da senoide (a resposta final está abaixo).

Resposta

v(t)=50\sin\!\left(15\pi\,t-\dfrac{\pi}{5}\right)\\ \mathrm{V}

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