1. Resolver o seguinte circuito elétrico (encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos e verificar as potências), considerando que v_{a}(t)=18 \operatorname{sen}(4.000 t) \mathrm{V} e v_{b}(t)=12 \cos (4.000 t) \mathrm{V}.

Passo 1

Vou listar exatamente o que o enunciado dá e o que é pedido (peguei estes números da figura enviada).
  • Fontes de tensão no domínio do tempo:
    • \displaystyle v_{a}(t)=18\sin(4000\,t)\\ \text{V}.
    • \displaystyle v_{b}(t)=12\cos(4000\,t)\\ \text{V}.
  • Componentes (valores retirados da imagem):
    • Capacitor: \displaystyle C=625\\ \text{nF}.
    • Resistência: \displaystyle R=400\\ \Omega.
    • Indutor: \displaystyle L=25\\ \text{mH}.
  • A topologia (vista na figura): o capacitor liga o terminal positivo de v_a ao nó superior; a resistência liga o nó superior ao terminal positivo de v_b; o indutor liga o nó superior ao terra (nó inferior comum às fontes).
  • O que o enunciado pede:
    • Encontrar a tensão e a corrente em todos os bipolos (capacitor, resistência, indutor e correntes das fontes).
    • Verificar as potências (potência ativa e reativa nos elementos e nas fontes).

Passo 2

Por que usar fasores e análise em regime permanente? Em sinais senoidais de mesma frequência costuma-se passar para a representação fasorial (números complexos) porque derivadas e integrais viram multiplicações por j\omega e as leis de circuito lineares continuam válidas (Ohm, KCL, KVL) com impedâncias complexas. Explicando a ideia básica:
  • Representar cada tensão/corrente senoidal por um fasor complexo que descreve amplitude e fase (usando referência coseno).
  • Impedâncias:
    • Capacitor: \displaystyle Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-j\frac{1}{\omega C}.
    • Indutor: \displaystyle Z_L=j\omega L.
    • Resistor: \displaystyle Z_R=R.
  • Relação entre fasores de pico: \displaystyle \tilde V e \displaystyle \tilde I. Ao calcular potências com fasores de amplitude pico usa-se \displaystyle S=\tfrac{1}{2}\,\tilde V\,\tilde I^{*} (onde ^{*} é conjugado). Se usar fasores em RMS então S=V_{\text{rms}} I_{\text{rms}}^{*}.

Passo 3

Calcular a frequência angular e as impedâncias numéricas (mostrar contas para fazer rápido na prova).
  • Frequência angular: \displaystyle \omega=4000\\ \text{rad/s}.
  • Capacitor: \displaystyle C=625\\ \text{nF}=625\times10^{-9}\\ \text{F}. Então \omega C=4000\cdot625\times10^{-9}=0{,}0025,
\dfrac{1}{\omega C}=\dfrac{1}{0{,}0025}=400\\ \Omega,
\boxed{\,Z_C=\dfrac{1}{j\omega C}=-j400\\ \Omega\,}.
  • Indutor: \displaystyle L=25\\ \text{mH}=25\times10^{-3}\\ \text{H}. Então \boxed{\,Z_L=j\omega L=j\cdot4000\cdot25\times10^{-3}=j100\\ \Omega\,}.
  • Resistência: \boxed{\,Z_R=R=400\\ \Omega\,}.

Passo 4

Converter as fontes dadas em fasores (uso referência coseno):
  • Dado \displaystyle v_{a}(t)=18\sin(4000t). Como \sin(\omega t)=\cos(\omega t-90^\circ), o fasor de pico é \boxed{\,\tilde V_a=18\angle(-90^\circ) = -j18\,}.
  • Dado \displaystyle v_{b}(t)=12\cos(4000t). O fasor de pico é \boxed{\,\tilde V_b=12\angle0^\circ = 12\,}.

Passo 5

Montar a equação nodal para encontrar o fasor da tensão no nó superior (chamo \tilde V_n). Pela topologia, a soma das correntes que saem do nó deve ser zero:
\frac{\tilde V_n-\tilde V_a}{Z_C}+\frac{\tilde V_n-\tilde V_b}{R}+\frac{\tilde V_n-0}{Z_L}=0.
Reescrevendo usando admitâncias \displaystyle Y=1/Z:
\tilde V_n\Big(\frac{1}{Z_C}+\frac{1}{R}+\frac{1}{Z_L}\Big)=\tilde V_a\frac{1}{Z_C}+\tilde V_b\frac{1}{R}.
Calcular cada admitância numericamente:
  • \displaystyle \frac{1}{Z_C}=\frac{1}{-j400}=j\cdot\frac{1}{400}=j0{,}0025.
  • \displaystyle \frac{1}{R}=\frac{1}{400}=0{,}0025.
  • \displaystyle \frac{1}{Z_L}=\frac{1}{j100}=-j0{,}01.
    Somando:
Y_{\text{tot}}=0{,}0025 + j(0{,}0025-0{,}01)=0{,}0025 - j0{,}0075.
Termo do numerador:
\tilde V_a\frac{1}{Z_C}=(-j18)\cdot(j0{,}0025)=\frac{18}{400}=0{,}045\quad(\text{real}),
\tilde V_b\frac{1}{R}=12\cdot0{,}0025=0{,}03.
Portanto numerador total =0{,}045+0{,}03=0{,}075.
Resolver para \tilde V_n:
\tilde V_n=\dfrac{0{,}075}{0{,}0025-j0{,}0075}.
Fazendo a divisão (multiplicar por conjugado) passo a passo:
0{,}075\cdot(0{,}0025+j0{,}0075)=0{,}0001875+j0{,}0005625,
(0{,}0025)^2+(0{,}0075)^2=0{,}0000625,
\tilde V_n=\dfrac{0{,}0001875+j0{,}0005625}{0{,}0000625}=3+j9\\ \text{V}.
Em forma fasorial:
\boxed{\,\tilde V_n=3+j9=9{,}4868\angle71{,}565^\circ\\ \text{V (pico)}\,.}

Passo 6

Voltar ao domínio do tempo (uso referência coseno e fasor de pico):
  • A tensão no nó: \boxed{\,v_n(t)=9{,}487\cos(4000t+71{,}565^\circ)\\ \text{V}\,}
(Arredondei para 3 casas decimais onde conveniente.)

Passo 7

Calcular as correntes das três ramificações em fasor, com explicação de cada fórmula usada.
  1. Corrente no capacitor (defino \tilde I_C como corrente saindo do terminal positivo de \tilde V_a rumo ao nó, ou seja \tilde I_C=(\tilde V_a-\tilde V_n)/Z_C):
\tilde V_a-\tilde V_n=(-j18)-(3+j9)=-3-j27.
\tilde I_C=\dfrac{-3-j27}{-j400}=( -3-j27)\cdot\frac{j}{400}=\frac{27}{400}-j\frac{3}{400}=0{,}0675-j0{,}0075\\ \text{A}.
Módulo e fase:
\boxed{\,\tilde I_C=0{,}06792\angle(-6{,}340^\circ)\\ \text{A (pico)}\,.}
No tempo (direção: do terminal positivo de v_a para o nó):
\boxed{\,i_C(t)=0{,}06792\cos(4000t-6{,}340^\circ)\\ \text{A}\,.}
  1. Corrente pela resistência (defino \tilde I_R como corrente do nó em direção ao terminal positivo de \tilde V_b, \tilde I_R=(\tilde V_n-\tilde V_b)/R):
\tilde V_n-\tilde V_b=(3+j9)-12=-9+j9,
\tilde I_R=\dfrac{-9+j9}{400}=-0{,}0225+j0{,}0225\\ \text{A}=0{,}03182\angle135^\circ\\ \text{A (pico)}.
No tempo (corrente positiva do nó para v_b):
\boxed{\,i_R(t)=0{,}03182\cos(4000t+135^\circ)\\ \text{A}\,.}
  1. Corrente no indutor (defino \tilde I_L como corrente do nó para o terra): \tilde I_L=\tilde V_n/Z_L.
\tilde I_L=\dfrac{3+j9}{j100}=(3+j9)\cdot\frac{-j}{100}=0{,}09-j0{,}03\\ \text{A}=0{,}09487\angle(-18{,}435^\circ).
No tempo (do nó para o terra):
\boxed{\,i_L(t)=0{,}09487\cos(4000t-18{,}435^\circ)\\ \text{A}\,.}
Observação prática: conferindo a KCL na forma fasorial: (\tilde V_n-\tilde V_a)/Z_C+(\tilde V_n-\tilde V_b)/R+\tilde V_n/Z_L=0 dá zero com os valores acima (conferência feita durante o cálculo).

Passo 8

Calcular as tensões nos bipolos (já temos \tilde V_n; as demais são diferenças conhecidas).
  • Tensão no indutor: \boxed{\,\tilde V_L=\tilde V_n=3+j9=9{,}487\angle71{,}565^\circ\\ \text{V (pico)}\,}
\boxed{\,v_L(t)=9{,}487\cos(4000t+71{,}565^\circ)\\ \text{V}\,}
  • Tensão no resistor (do nó para o terminal positivo de v_b): \boxed{\,\tilde V_R=\tilde V_n-\tilde V_b=-9+j9=12{,}728\angle135^\circ\\ \text{V (pico)}\,}
\boxed{\,v_R(t)=12{,}728\cos(4000t+135^\circ)\\ \text{V}\,}
  • Tensão no capacitor (entre terminal positivo de v_a e o nó): \tilde V_C=\tilde V_a-\tilde V_n: \boxed{\,\tilde V_C=-3-j27=27{,}166\angle(-96{,}340^\circ)\\ \text{V (pico)}\,}
\boxed{\,v_C(t)=27{,}166\cos(4000t-96{,}340^\circ)\\ \text{V}\,}

Passo 9

Calcular as potências (uso fasores de pico; aplico \displaystyle S=\tfrac{1}{2}\tilde V\tilde I^{*}). Vou calcular potência complexa em cada elemento e nas fontes (potência ativa P=\Re\{S\} em W e reativa Q=\Im\{S\} em var).
  1. Resistência (produto direto):
\tilde V_R= -9+j9,\qquad \tilde I_R=-0{,}0225+j0{,}0225,
\tilde I_R^{*}=-0{,}0225-j0{,}0225.
\tilde V_R\tilde I_R^{*}=0{,}405+ j0,
\boxed{\,S_R=\tfrac{1}{2}\cdot0{,}405=0{,}2025\\ \text{W}\,}
(ou seja P_R=0{,}2025\\ \text{W}, Q_R=0).
  1. Indutor:
\tilde V_L=3+j9,\qquad \tilde I_L=0{,}09-j0{,}03,\qquad \tilde I_L^{*}=0{,}09+j0{,}03,
\tilde V_L\tilde I_L^{*}=j0{,}9,
\boxed{\,S_L=\tfrac{1}{2}j0{,}9=j0{,}45\\ \text{VA}\,}
(ou seja P_L=0, Q_L=+0{,}45\\ \text{var}, reativo indutivo).
  1. Capacitor:
\tilde V_C=-3-j27,\qquad \tilde I_C=0{,}0675-j0{,}0075,\qquad \tilde I_C^{*}=0{,}0675+j0{,}0075,
\tilde V_C\tilde I_C^{*}=-j1{,}845,
\boxed{\,S_C=\tfrac{1}{2}(-j1{,}845)=-j0{,}9225\\ \text{VA}\,}
(ou seja P_C=0, Q_C=-0{,}9225\\ \text{var}, reativo capacitivo).
  1. Fontes (usar corrente que sai do pólo positivo da fonte; já calculei correntes nas ramificações):
  • Para a fonte v_a: corrente que sai do ato positivo é \tilde I_a=\tilde I_C=0{,}0675-j0{,}0075. Então \tilde V_a=-j18,\qquad \tilde I_a^{*}=0{,}0675+j0{,}0075,
\tilde V_a\,\tilde I_a^{*}=0{,}135 - j1{,}215,
\boxed{\,S_a=\tfrac{1}{2}(0{,}135 - j1{,}215)=0{,}0675 - j0{,}6075\\ \text{VA}\,}
(ou seja P_a=0{,}0675\\ \text{W}, Q_a=-0{,}6075\\ \text{var}).
  • Para a fonte v_b: corrente que sai do pólo positivo é o negativo de \tilde I_R (porque \tilde I_R foi definida do nó para o terminal positivo de v_b). Assim corrente que sai do pólo positivo de v_b é \tilde I_b=-\tilde I_R=0{,}0225-j0{,}0225. Então \tilde V_b=12,\qquad \tilde I_b^{*}=0{,}0225+j0{,}0225,
\tilde V_b\tilde I_b^{*}=0{,}27 + j0{,}27,
\boxed{\,S_b=\tfrac{1}{2}(0{,}27 + j0{,}27)=0{,}135 + j0{,}135\\ \text{VA}\,}
(ou seja P_b=0{,}135\\ \text{W}, Q_b=+0{,}135\\ \text{var}).
Verificação de conservação de potência: somando as potências das fontes obtém-se
S_a+S_b=(0{,}0675- j0{,}6075)+(0{,}135+j0{,}135)=0{,}2025 - j0{,}4725,
que coincide com a soma das potências nos elementos passivos
S_R+S_L+S_C=0{,}2025 + j0{,}45 - j0{,}9225=0{,}2025 - j0{,}4725.
Portanto a conta fecha (energia conservada).

Passo 10

Resumo prático dos valores que você deve anotar para a prova (faça cópia direta do resultado final se estiver com pressa). Todos os sinais de tempo estão na forma \cos(4000t+\varphi) e os fasores estavam em amplitude de pico.

Resposta

v_n(t)=9{,}487\cos(4000t+71{,}565^\circ)\\ \text{V}\n
v_C(t)=27{,}166\cos(4000t-96{,}340^\circ)\\ \text{V}\n
i_C(t)=0{,}06792\cos(4000t-6{,}340^\circ)\\ \text{A} (corrente do pólo positivo de v_a para o nó)\n
v_R(t)=12{,}728\cos(4000t+135^\circ)\\ \text{V}\n
i_R(t)=0{,}03182\cos(4000t+135^\circ)\\ \text{A} (corrente do nó para o pólo positivo de v_b)\n
v_L(t)=9{,}487\cos(4000t+71{,}565^\circ)\\ \text{V}\n
i_L(t)=0{,}09487\cos(4000t-18{,}435^\circ)\\ \text{A} (corrente do nó para o terra)\n
i_{a}(t)=0{,}06792\cos(4000t-6{,}340^\circ)\\ \text{A} (corrente que sai do pólo positivo de v_a)\n
i_{b}(t)=0{,}03182\cos(4000t-45^\circ)\\ \text{A} (corrente que sai do pólo positivo de v_b)\n
Potências (complexas, em unidades W e var):\n
S_R=0{,}2025\\ \text{W} (ativa), Q_R=0\n
S_L=j0{,}45\\ \text{VA} \Rightarrow P_L=0,\\ Q_L=+0{,}45\\ \text{var}\n
S_C=-j0{,}9225\\ \text{VA} \Rightarrow P_C=0,\\ Q_C=-0{,}9225\\ \text{var}\n
Fontes:\n
S_a=0{,}0675 - j0{,}6075\\ \text{VA} \Rightarrow P_a=0{,}0675\\ \text{W},\\ Q_a=-0{,}6075\\ \text{var}\n
S_b=0{,}135 + j0{,}135\\ \text{VA} \Rightarrow P_b=0{,}135\\ \text{W},\\ Q_b=+0{,}135\\ \text{var}\n
Verificação: S_a+S_b=S_R+S_L+S_C=0{,}2025 - j0{,}4725\\ \text{VA}.

Exercícios relacionados