para x>0 (e análogo para x<0, o valor é constante em módulo). Esse valor é diferente de 0.
Como a razão
\frac{f(x,y)-x}{\sqrt{x^{2}+y^{2}}}
não tende a 0 ao longo do caminho y=x (tende a -\tfrac{1}{2\sqrt{2}}), o limite total quando (x,y)\to(0,0) não existe (ou não é zero). Portanto a condição de diferenciabilidade falha.
Passo 5
Interpretação final e motivação curta: mesmo tendo derivadas parciais bem definidas em (0,0), a aproximação linear x não aproxima f com erro pequeno em relação à distância \sqrt{x^2+y^2} ao redor da origem — há direções (por exemplo y=x) em que o erro relativo permanece um número fixo não nulo. Logo f não é diferenciável em (0,0).
Força aí — derivadas parciais existem, mas diferenciabilidade exige mais: o erro tem de ser pequeno comparado à distância em TODAS as direções, e aqui há uma direção que estraga tudo.