Resolver o seguinte PVI:
x^{2} y^{\prime \prime}-2 x y^{\prime}+2 y=0, y(1)=1, y^{\prime}(1)=4 .

Passo 1

O enunciado nos dá o PVI
x^{2}y'' - 2x y' + 2y = 0,\quad y(1)=1,\quad y'(1)=4.
Trata-se de uma equação de Cauchy–Euler. Para resolver, usaremos a tentativa de solução do tipo y = x^{r} e depois aplicaremos as condições iniciais.

Passo 2

Suponha y = x^{r}. Então
y' = r\,x^{r-1},\quad y'' = r(r-1)\,x^{r-2}.
Substituindo em x^{2}y'' - 2x y' + 2y = 0 temos
x^{2}\bigl[r(r-1)x^{r-2}\bigr] \;-\;2x\bigl[r x^{r-1}\bigr]\;+\;2\,x^{r} = 0,
que simplifica para a equação característica
r(r-1) \;-\;2r \;+\;2 \;=\;0 \quad\Longrightarrow\quad r^{2} - 3r + 2 = 0.

Passo 3

A equação r^{2} - 3r + 2 = 0 fatoriza como (r-1)(r-2)=0, logo
r_{1}=1,\quad r_{2}=2.
A solução geral da EDO é
y(x) = C_{1}\,x^{1} + C_{2}\,x^{2} = C_{1}x + C_{2}x^{2}.
Calculamos sua derivada para usar a condição y'(1)=4:
y'(x) = C_{1} + 2C_{2}\,x.

Passo 4

Aplicando y(1)=1 e y'(1)=4, obtemos o sistema
\begin{cases} C_{1} + C_{2} = 1,\\\ C_{1} + 2C_{2} = 4. \end{cases}
Subtraindo a primeira equação da segunda fica
C_{2} = 3,
e daí
C_{1} = 1 - C_{2} = 1 - 3 = -2.

Resposta

Substituindo C_{1}=-2 e C_{2}=3 na solução geral, temos
y(x) = -2x + 3x^{2}.

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