Resolver o PVI y^{\prime}+6 y=e^{4 t}, y(0)=2 :
sem usar transformada de Laplace.

Passo 1

O enunciado pede a resolução do PVI y'+6y = e^{4t}, com y(0)=2. Trata-se de uma EDO linear de primeira ordem e vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Para uma EDO na forma y'+p(t)\,y = g(t) temos p(t)=6 e g(t)=e^{4t}. O fator integrante é
\mu(t) = \exp\Bigl(\int p(t)\,dt\Bigr) = \exp\bigl(\int 6\,dt\bigr) = e^{6t}.

Passo 3

Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{6t}y' + 6e^{6t}y = e^{6t}e^{4t} = e^{10t},
que pode ser reconhecido como
\frac{d}{dt}\bigl(y\,e^{6t}\bigr) = e^{10t}.
Integrando ambos os lados:
y\,e^{6t} = \int e^{10t}\,dt + C = \frac{1}{10}e^{10t} + C.

Passo 4

Isolando y(t) temos
y(t) = \frac{1}{10}e^{10t}e^{-6t} + C\,e^{-6t} = \frac{1}{10}e^{4t} + C\,e^{-6t}.
Aplicando y(0)=2:
2 = \frac{1}{10}e^{0} + C\,e^{0} \;\Longrightarrow\; C = 2 - \frac{1}{10} = \frac{19}{10}.
Logo
y(t) = \frac{1}{10}e^{4t} + \frac{19}{10}e^{-6t}.

Resposta

y(t) = \frac{1}{10}e^{4t} + \frac{19}{10}e^{-6t}.

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