Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
y^{\prime \prime}-2 y^{\prime}-3 y=3 t e^{2 t}, \quad y(0)=1, \quad y^{\prime}(0)=0

Passo 1

O enunciado nos dá o problema de valor inicial
y'' - 2y' - 3y = 3t\,e^{2t},\quad y(0)=1,\quad y'(0)=0.
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular por método dos coeficientes a determinar. Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.

Passo 2

Resolver a parte homogênea
y'' - 2y' - 3y = 0.
A equação característica é
r^2 - 2r - 3 = 0\quad\Longrightarrow\quad (r-3)(r+1)=0,
logo as raízes são r=3 e r=-1. Portanto a solução homogênea é
y_h(t) = C_1e^{3t} + C_2e^{-t}.

Passo 3

Como o termo não homogêneo é 3t\,e^{2t}, e 2 não é raiz da característica, escolhemos o ansatz
y_p(t) = (A\,t + B)e^{2t}.
Agora precisamos de y_p' e y_p''. Derivando:
y_p' = \bigl(2A\,t + (2B + A)\bigr)e^{2t},
y_p'' = \bigl(4A\,t + (4A + 4B)\bigr)e^{2t}.

Passo 4

Substituindo em y'' - 2y' - 3y = 3t\,e^{2t} e fatorando e^{2t}, obtemos
\bigl[-3A\,t + (2A - 3B)\bigr]e^{2t} = 3t\,e^{2t}.
Igualando coeficientes de t e termos constantes:
-3A = 3\quad\Longrightarrow\quad A = -1,
2A - 3B = 0\quad\Longrightarrow\quad -2 - 3B = 0\quad\Longrightarrow\quad B = -\tfrac{2}{3}.
Assim
y_p(t) = \bigl(-t - \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.

Passo 5

A solução geral é
y(t) = C_1e^{3t} + C_2e^{-t} - \bigl(t + \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.
Calculamos y'(t):
y'(t) = 3C_1e^{3t} - C_2e^{-t} + \bigl(-2t - \tfrac{7}{3}\bigr)e^{2t}.
Em t=0 as condições iniciais dão
y(0)=1:\quad C_1 + C_2 - \tfrac{2}{3} = 1\quad\Longrightarrow\quad C_1 + C_2 = \tfrac{5}{3},
y'(0)=0:\quad 3C_1 - C_2 - \tfrac{7}{3} = 0\quad\Longrightarrow\quad 3C_1 - C_2 = \tfrac{7}{3}.
Resolvendo o sistema:
C_1 = 1,\quad C_2 = \tfrac{2}{3}.

Resposta

y(t) = e^{3t} + \tfrac{2}{3}\,e^{-t} - \bigl(t + \tfrac{2}{3}\bigr)e^{2t}.

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