Encontre a solução do problema de valor inicial dado.
Passo 1
O enunciado nos dá o problema de valor inicial
Este é um EDO linear de segunda ordem com coeficientes constantes. Para resolver, vamos primeiro achar a solução geral da equação homogênea associada e depois um particular por método dos coeficientes a determinar. Por fim, aplicamos as condições iniciais para determinar as constantes.
Passo 2
Resolver a parte homogênea
A equação característica é
logo as raízes são
e
. Portanto a solução homogênea é
Passo 3
Como o termo não homogêneo é
, e
não é raiz da característica, escolhemos o ansatz
Agora precisamos de
e
. Derivando:
Passo 4
Substituindo em
e fatorando
, obtemos
Igualando coeficientes de
e termos constantes:
Assim
Passo 5
A solução geral é
Calculamos
:
Em
as condições iniciais dão
Resolvendo o sistema: