Resolver as seguintes EDO’s Lineares
\frac{d y}{d x}+3 y=\cos (x)

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + 3y = \cos(x)
ou seja, uma EDO da forma \frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x) com P(x)=3 e Q(x)=\cos(x). Vamos usar o método do fator integrante.

Passo 2

Calculamos o fator integrante \mu(x) definido por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int 3\,dx} = e^{3x}.

Passo 3

Multiplicamos a equação original por \mu(x) e reconhecemos que o lado esquerdo é a derivada do produto e^{3x}y:
\frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr) = e^{3x}\cos(x).

Passo 4

Integramos ambos os lados em relação a x:
\int \frac{d}{dx}\bigl(e^{3x}y\bigr)\,dx = \int e^{3x}\cos(x)\,dx \quad\Longrightarrow\quad e^{3x}y = \int e^{3x}\cos(x)\,dx + C.
Para calcular a integral recorremos à fórmula
\int e^{ax}\cos(bx)\,dx = \frac{e^{ax}\bigl(a\cos(bx)+b\sin(bx)\bigr)}{a^{2}+b^{2}},
com a=3 e b=1, obtendo
\int e^{3x}\cos(x)\,dx = \frac{e^{3x}\bigl(3\cos(x)+\sin(x)\bigr)}{3^{2}+1^{2}} = \frac{e^{3x}\bigl(3\cos(x)+\sin(x)\bigr)}{10}.

Passo 5

Substituindo de volta em e^{3x}y e isolando y, temos
e^{3x}y = \frac{e^{3x}\bigl(3\cos(x)+\sin(x)\bigr)}{10} + C \quad\Longrightarrow\quad y = \frac{3\cos(x)+\sin(x)}{10} + Ce^{-3x}.

Resposta

y(x) = \frac{3\cos(x) + \sin(x)}{10} + C\,e^{-3x},
onde C é a constante de integração.

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