Resolver as seguintes EDO’s Lineares
\frac{d y}{d x}+\frac{1}{x} y=x^{2}, x>0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
\frac{dy}{dx} + \frac{1}{x}\,y = x^{2},\quad x>0.
O conteúdo aqui é EDO linear e vamos usar fator integrante para encontrar a solução geral.

Passo 2

Primeiro colocamos a EDO na forma padrão
\frac{dy}{dx} + P(x)\,y = Q(x)
identificando
P(x)=\frac{1}{x},\quad Q(x)=x^{2}.

Passo 3

O fator integrante \mu(x) é dado por
\mu(x) = e^{\int P(x)\,dx} = e^{\int \frac{1}{x}\,dx} = e^{\ln x} = x.

Passo 4

Multiplicamos a equação original por \mu(x)=x, obtendo
x\frac{dy}{dx} + y = x^{3}.
O lado esquerdo é exatamente \frac{d}{dx}(x\,y), então
\frac{d}{dx}(x\,y) = x^{3}.
Integramos ambos os lados em relação a x:
x\,y = \int x^{3}\,dx = \frac{x^{4}}{4} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 5

Isolando y, temos
y = \frac{x^{4}}{4x} + \frac{C}{x} = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}.

Resposta

A solução geral da EDO é
y(x) = \frac{x^{3}}{4} + \frac{C}{x}.

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