Resolver as seguintes EDO’s usando factor integrante quando for necessario
Resolva as equações diferenciais:
(x+y) d x+(x-y) d y=0

Passo 1

O enunciado apresenta a forma diferencial
M(x,y)\,dx + N(x,y)\,dy = 0
com
M(x,y)=x+y, \quad N(x,y)=x-y,
e pede a solução geral. Vamos verificar se a equação é exata e, em caso afirmativo, encontrar uma função potencial \Phi(x,y) tal que
\frac{\partial \Phi}{\partial x}=M, \quad \frac{\partial \Phi}{\partial y}=N.

Passo 2

Calculamos as derivadas parciais para testar exatidão:
\frac{\partial M}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}(x+y)=1, \quad \frac{\partial N}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}(x-y)=1.
Como \partial M/\partial y=\partial N/\partial x, a equação é exata.

Passo 3

Procuramos \Phi(x,y) integrando M em relação a x:
\Phi(x,y) =\int (x+y)\,dx =\frac{x^2}{2}+xy + h(y),
onde h(y) é uma função a determinar. Em seguida, impomos
\frac{\partial \Phi}{\partial y} =x + h'(y) \stackrel{!}{=}N(x,y)=x-y \;\Longrightarrow\; h'(y)=-y \;\Longrightarrow\; h(y)=-\frac{y^2}{2}.
Logo,
\Phi(x,y) =\frac{x^2}{2}+xy-\frac{y^2}{2}.

Passo 4

A solução geral é dada implicitamente por
\Phi(x,y)=C \;\Longrightarrow\; \frac{x^2}{2}+xy-\frac{y^2}{2}=C.
Multiplicando por 2 e renomeando a constante, obtemos a forma mais simples.

Resposta

x^2+2xy - y^2 = C,
em que C é constante arbitrária.

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