Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}+2 y^{\prime \prime}-3 y^{\prime}+2 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear homogênea de ordem 3 com coeficientes constantes
y^{(3)} + 2y'' - 3y' + 2y \;=\; 0.
O conteúdo envolve montar a equação característica, encontrar suas raízes e, a partir delas, escrever a solução geral.

Passo 2

Para resolver usamos o método da equação característica. Assumimos y=e^{\lambda x}, substituímos na EDO e obtemos
\lambda^3 + 2\lambda^2 - 3\lambda + 2 \;=\; 0.

Passo 3

Devemos achar as raízes de
\lambda^3 + 2\lambda^2 - 3\lambda + 2 = 0.
Testes de raízes racionais mostram que não há raízes inteiras pequenas, então recorremos a métodos numéricos. Encontramos
– Uma raiz real aproximada \lambda_1 \approx -3{,}149.
– Duas raízes complexas conjugadas \lambda_{2,3} = \alpha \pm i\beta com
\alpha \approx 0{,}5745, \quad \beta \approx 0{,}5327.

Passo 4

Como as raízes são \lambda_1 real distinta e um par complexo \alpha\pm i\beta, a solução geral é
y(x) = C_1\,e^{\lambda_1 x} + e^{\alpha x}\Bigl(C_2\cos(\beta x)+C_3\sin(\beta x)\Bigr).
Substituindo os valores numéricos:
y(x) = C_1\,e^{-3{,}149\,x} + e^{0{,}5745\,x}\Bigl(C_2\cos(0{,}5327\,x)+C_3\sin(0{,}5327\,x)\Bigr).

Resposta

y(x) = C_1\,e^{-3{,}149\,x} + e^{0{,}5745\,x}\bigl(C_2\cos(0{,}5327\,x)+C_3\sin(0{,}5327\,x)\bigr).

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