1^{\text {a }} Questão ( 1,5 ponto cada item).

Considere um arame fino com formato da hélice x=t \sqrt{3}, y=\cos (t), z=\operatorname{sen}(t), 0 \leq t \leq 1. Sabendo que a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da sua distância à origem, determine a distância ao plano y z do centro de massa do arame.

Passo 1

O enunciado dá um fio descrito por
x = t\sqrt{3},\quad y=\cos(t),\quad z=\sin(t),\quad 0\le t\le1,
com densidade pontual igual ao quadrado da distância ao eixo da origem. Pede-se a distância do centro de massa ao plano yz, ou seja \lvert x_{\rm cm}\rvert. Vamos usar definição de centro de massa para fio com densidade variável:
x_{\rm cm}=\frac{1}{M}\int x\,\mathrm{d}m,
onde \mathrm{d}m=\lambda\,\mathrm{d}s e \lambda é a densidade.

Passo 2

Primeiro calculamos o elemento de comprimento \mathrm{d}s e a densidade \lambda. Temos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(\sqrt{3},\,-\sin t,\cos t\bigr),
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\mathrm{d}s=\|\mathbf{r}'(t)\|\,\mathrm{d}t =\sqrt{(\sqrt{3})^2+(-\sin t)^2+(\cos t)^2}\,\mathrm{d}t =\sqrt{3+1}\,\mathrm{d}t =2\,\mathrm{d}t.
A densidade é \lambda=(\text{distância à origem})^2âà. Como
x^2+y^2+z^2=3t^2+\cos^2t+\sin^2t=3t^2+1,
temos
\lambda=3t^2+1.
Portanto
\mathrm{d}m=\lambda\,\mathrm{d}s = (3t^2+1)\,2\,\mathrm{d}t =2(3t^2+1)\,\mathrm{d}t.

Passo 3

Calculamos a massa total M:
M=\int_0^1\mathrm{d}m =\int_0^1 2(3t^2+1)\,\mathrm{d}t =2\bigl[ t^3 + t\bigr]_0^1 =2(1+1)=4.

Passo 4

Agora o momento em x:
\int x\,\mathrm{d}m =\int_0^1 \bigl(t\sqrt{3}\bigr)\,2(3t^2+1)\,\mathrm{d}t =2\sqrt{3}\int_0^1 \bigl(3t^3+t\bigr)\,\mathrm{d}t =2\sqrt{3}\Bigl[\tfrac{3t^4}{4}+\tfrac{t^2}{2}\Bigr]_0^1 =2\sqrt{3}\Bigl(\tfrac{3}{4}+\tfrac{1}{2}\Bigr) =2\sqrt{3}\cdot\tfrac{5}{4} =\tfrac{5\sqrt{3}}{2}.
Assim
x_{\rm cm} =\frac{1}{M}\int x\,\mathrm{d}m =\frac{1}{4}\cdot\tfrac{5\sqrt{3}}{2} =\frac{5\sqrt{3}}{8}.

Resposta

A distância do centro de massa ao plano yz é
\frac{5\sqrt{3}}{8}.

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