Questão ( 1,5 ponto cada item).
Considere um arame fino com formato da hélice
. Sabendo que a densidade em qualquer ponto é igual ao quadrado da sua distância à origem, determine a distância ao plano
do centro de massa do arame.
Passo 1
O enunciado dá um fio descrito por
com densidade pontual igual ao quadrado da distância ao eixo da origem. Pede-se a distância do centro de massa ao plano
, ou seja
. Vamos usar definição de centro de massa para fio com densidade variável:
onde
e
é a densidade.
Passo 2
Primeiro calculamos o elemento de comprimento
e a densidade
. Temos
logo
A densidade é
. Como
temos
Portanto
Passo 3
Calculamos a massa total
:
Passo 4
Agora o momento em
:
Assim
Resposta
A distância do centro de massa ao plano
é