1^{\text {a }} Questão ( 1,5 ponto cada item).

Determine o trabalho realizado pelo campo de força \mathbf{F}(x, y)=\left(y \cos (x)+e^{\sqrt{x}}, \operatorname{sen}(x)-\frac{1}{y+1}\right) ao longo do triângulo de vértices (1,0),(2,1),(1,3), percorrido uma vez no sentido horário.

Passo 1

O enunciado pede o trabalho
W=\oint_{C}\mathbf{F}\cdot d\mathbf{r}=\oint_{C}P\,dx+Q\,dy
com \mathbf{F}(x,y)=(P,Q)=\bigl(y\cos(x)+e^{\sqrt{x}}\;,\;\sin(x)-\tfrac1{y+1}\bigr) ao longo do triângulo com vértices (1,0),(2,1),(1,3) percorrido em sentido horário. Vamos usar o Teorema de Green (com orientação negativa) para transformar essa integral de linha numa integral dupla.

Passo 2

Calculemos as derivadas parciais
\frac{\partial Q}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\sin(x)-\tfrac1{y+1}\Bigr) =\cos(x), \qquad \frac{\partial P}{\partial y} =\frac{\partial}{\partial y}\Bigl(y\cos(x)+e^{\sqrt{x}}\Bigr) =\cos(x).
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\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y} =\cos(x)-\cos(x)=0.

Passo 3

Pelo Teorema de Green, para contorno C orientado horário, vale
\oint_{C}P\,dx+Q\,dy =-\iint_{D}\Bigl(\frac{\partial Q}{\partial x}-\frac{\partial P}{\partial y}\Bigr)\,dA.
Como o integrando é zero em toda a região D (o triângulo), a integral dupla é zero.

Passo 4

Portanto o trabalho realizado é W=0.

Resposta

0

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