Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(5)}+4 y^{\prime \prime}+6 y^{\prime}-3 y=x^{3}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de ordem superior com coeficientes constantes
y^{(5)} + 4\,y'' + 6\,y' -3\,y = x^{3}.
O procedimento geral é decompor a solução em
y(x) = y_h(x) + y_p(x),
onde y_h é a solução da equação homogênea associada e y_p é uma solução particular da não homogênea. Para y_h vamos formar a equação característica; para y_p usamos o método dos coeficientes indeterminados, pois o segundo membro é um polinômio em x.

Passo 2

Equação homogênea:
y^{(5)} + 4\,y'' + 6\,y' -3\,y = 0.
Assumindo y_h(x)=e^{r x}, obtemos a característica
r^{5} + 4\,r^{2} + 6\,r - 3 = 0.
Como este polinômio de quinta ordem não admite raízes racionais simples, escrevemos a solução geral do homogêneo em termos de suas raízes r_{1},\dots,r_{5}:
y_h(x)=C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+C_{3}e^{r_{3}x}+C_{4}e^{r_{4}x}+C_{5}e^{r_{5}x},
onde cada r_i satisfaz r_i^5+4r_i^2+6r_i-3=0 e C_i são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular, como o segundo membro é x^3, tomamos
y_p(x)=A\,x^{3}+B\,x^{2}+C\,x+D.
Calculamos as derivadas necessárias:
y_p' = 3A\,x^{2}+2B\,x+C,\quad y_p'' = 6A\,x +2B,\quad y_p^{(5)}=0.
Substituindo na equação original:
0 \;+\;4\bigl(6A\,x+2B\bigr)\;+\;6\bigl(3A\,x^{2}+2B\,x+C\bigr)\;-\;3\bigl(A\,x^{3}+B\,x^{2}+C\,x+D\bigr) = x^{3}.
Isso gera o polinômio
-3A\,x^{3} \;+\;(18A-3B)\,x^{2}\;+\;(24A+12B-3C)\,x\;+\;(8B+6C-3D) = x^{3}.
Igualando coeficientes de cada potência de x:
\begin{cases} -3A = 1,\\\\ 18A - 3B = 0,\\\\ 24A +12B -3C = 0,\\\\ 8B +6C -3D = 0. \end{cases}

Passo 4

Resolvendo esse sistema:
A=-\tfrac13,\quad B=-2,\quad C=-\tfrac{32}{3},\quad D=-\tfrac{80}{3}.
Logo
y_p(x)=-\tfrac13\,x^3 \;-\;2\,x^2\;-\;\tfrac{32}{3}\,x\;-\;\tfrac{80}{3}.

Resposta

A solução geral da equação é
y(x) = C_{1}e^{r_{1}x}+C_{2}e^{r_{2}x}+C_{3}e^{r_{3}x}+C_{4}e^{r_{4}x}+C_{5}e^{r_{5}x} \;-\;\tfrac13\,x^3 \;-\;2\,x^2\;-\;\tfrac{32}{3}\,x\;-\;\tfrac{80}{3},
onde r_{1},\dots,r_{5} são as raízes da equação característica
r^{5}+4r^{2}+6r-3=0
e C_{1},\dots,C_{5} são constantes arbitrárias.

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