Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+y^{(3)}-3 y^{\prime}+7 y=e^{2 x}

Passo 1

O enunciado apresenta a equação diferencial linear de 4ª ordem com coeficientes constantes
y^{(4)} + y^{(3)} - 3y' + 7y = e^{2x}
e pede a solução geral. Para resolver, vamos achar primeiro a solução da homogênea (com =0) por meio da equação característica e depois uma solução particular para o termo e^{2x}.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y^{(4)} + y^{(3)} - 3y' + 7y = 0
cuja equação característica é
r^4 + r^3 - 3r + 7 = 0.
Como não surgem raízes racionais evidentes, denotamos as quatro raízes (possivelmente complexas) por r_1,r_2,r_3,r_4. A solução geral da parte homogênea fica, então,
y_h(x) \;=\; C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x},
onde C_1,\dots,C_4 são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a solução particular y_p, usamos o método dos coeficientes a determinar. Como o termo não homogenéo é e^{2x} e r=2 não zera a característica (verificando 2^4+2^3-3\cdot2+7=25\neq0), fazemos a ansatz
y_p(x) = A\,e^{2x}.
Derivando e substituindo em y^{(4)} + y^{(3)} - 3y' + 7y obtemos
A\,e^{2x}\bigl(16 + 8 - 6 + 7\bigr) = A\cdot25\,e^{2x}
que deve igualar e^{2x}. Logo
A = \frac{1}{25}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + C_4 e^{r_4 x} \;+\;\frac{1}{25}\,e^{2x},
em que r_1,r_2,r_3,r_4 são as raízes da equação característica
r^4 + r^3 - 3r + 7 = 0.

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