Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(4)}+y^{(3)}-3 y^{\prime}+7 y=x^{2} e^{x}

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de coeficientes constantes
y^{(4)} + y^{(3)} -3y' +7y = x^{2}e^{x}.
O método envolve duas etapas principais:
  1. encontrar a solução geral y_{h} da equação homogênea associada usando a equação característica;
  2. encontrar uma solução particular y_{p} da não homogênea por coeficientes indeterminados.

Passo 2

A equação homogênea associada é
y^{(4)} + y^{(3)} -3y' +7y = 0.
Assumimos y=e^{rx}, o que leva à equação característica
r^{4} + r^{3} -3r +7 = 0.
Seja r_{1},r_{2},r_{3},r_{4} as raízes dessa equação (que geralmente são números complexos ou reais sem forma fechada simples). A solução geral homogênea é então
y_{h}(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} + C_{4}e^{r_{4}x},
onde C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é x^{2}e^{x} e r=1 não é raiz da característica (pois 1^{4}+1^{3}-3\cdot1+7=6\neq0), tentamos
y_{p}(x) = e^{x}\bigl(Ax^{2}+Bx+C\bigr).
Para computar as derivadas, usamos o fato de que, se y=e^{x}u(x), então
y^{(n)} = e^{x}\sum_{k=0}^{n}\binom{n}{k}u^{(k)}(x).
Aqui u(x)=Ax^{2}+Bx+C, de modo que
u(x)=Ax^{2}+Bx+C,\quad u'(x)=2Ax+B,\quad u''(x)=2A,\quad u^{(3)}=u^{(4)}=0.

Passo 4

Aplicando ao ODE obtemos
y^{(4)}+y^{(3)}-3y'+7y = e^{x}\bigl(6u +4u' +9u''\bigr) = e^{x}\bigl(6(Ax^{2}+Bx+C)+4(2Ax+B)+9(2A)\bigr).
Expandindo:
6u =6Ax^{2}+6Bx+6C, \quad 4u' =8Ax+4B, \quad 9u'' =18A.
Somando,
\text{LHS}=e^{x}\bigl(6A\,x^{2} + (8A+6B)\,x + (18A+4B+6C)\bigr).
Isso deve ser igual a x^{2}e^{x}\), logo igualamos coeficientes: \[\begin{cases} 6A = 1,\\\\ 8A + 6B = 0,\\\\ 18A + 4B + 6C = 0. \end{cases}
Da primeira equação (A=\tfrac16]. Substituindo na segunda,
8\cdot\tfrac16 +6B=0\implies \tfrac{4}{3}+6B=0\implies B=-\tfrac{2}{9}.
Na terceira,
18\cdot\tfrac16 +4\bigl(-\tfrac{2}{9}\bigr)+6C=0 \implies 3-\tfrac{8}{9}+6C=0 \implies 6C=-\tfrac{19}{9} \implies C=-\tfrac{19}{54}.
Portanto
y_{p}(x) = e^{x}\Bigl(\tfrac{1}{6}x^{2}-\tfrac{2}{9}x-\tfrac{19}{54}\Bigr).

Resposta

A solução geral da EDÖ é
y(x) = y_{h}(x) + y_{p}(x) = C_{1}e^{r_{1}x} + C_{2}e^{r_{2}x} + C_{3}e^{r_{3}x} + C_{4}e^{r_{4}x} + e^{x}\Bigl(\tfrac{1}{6}x^{2}-\tfrac{2}{9}x-\tfrac{19}{54}\Bigr),
onde r_{1},r_{2},r_{3},r_{4} são as raízes da equação
r^{4} + r^{3} -3r +7 = 0
e C_{1},C_{2},C_{3},C_{4} são constantes arbitrárias.

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