Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
y^{(3)}-4 y^{\prime \prime}+3 y^{\prime}+5 y=e^{x} \cos (x)

Passo 1

O enunciado pede a solução geral da EDO de terceira ordem
y^{(3)}-4y''+3y'+5y = e^{x}\cos(x).
O conteúdo é EDO linear com coeficientes constantes. Vamos primeiro achar a solução do homogêneo e depois uma solução particular.

Passo 2

Para o homogêneo consideramos a equação característica
r^3 - 4r^2 + 3r + 5 = 0.
As raízes r_1,r_2,r_3 dessa cúbica (uma real e duas complexas conjugadas) determinam a solução homogênea
y_h(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x}.

Passo 3

Para a solução particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o RHS é e^x\cos x, propomos
y_p(x) = e^x\bigl(A\cos x + B\sin x\bigr).

Passo 4

Calculamos as derivadas necessárias e substituímos em
L[y_p] = y_p^{(3)} - 4y_p'' + 3y_p' + 5y_p
e igualamos a e^x\cos x. O cálculo dá o sistema linear em A,B:
\begin{cases} 6A - 3B = 1,\\\\ 3A + 6B = 0, \end{cases}
cuja solução é
A = \tfrac{2}{15},\quad B = -\tfrac{1}{15}.

Passo 5

Logo
y_p(x) = e^x\Bigl(\tfrac{2}{15}\cos x - \tfrac{1}{15}\sin x\Bigr).
A solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \frac{e^x}{15}\bigl(2\cos x - \sin x\bigr),
onde r_1,r_2,r_3 são as raízes de r^3-4r^2+3r+5=0.

Resposta

y(x) = C_1 e^{r_1 x} + C_2 e^{r_2 x} + C_3 e^{r_3 x} + \frac{e^x}{15}\bigl(2\cos x - \sin x\bigr),
com r_1,r_2,r_3 raízes da equação característica r^3-4r^2+3r+5=0.

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