Resolver as seguintes EDÖS lineares de ordem superior
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial não homogênea de coeficientes constantes
O método envolve duas etapas principais:
- encontrar a solução geral
da equação homogênea associada usando a equação característica; - encontrar uma solução particular
da não homogênea por coeficientes indeterminados.
Passo 2
A equação homogênea associada é
Assumimos
, o que leva à equação característica
Seja
as raízes dessa equação (que geralmente são números complexos ou reais sem forma fechada simples). A solução geral homogênea é então
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Para a parte particular usamos o método dos coeficientes indeterminados. Como o lado direito é
e
não é raiz da característica (pois
), tentamos
Para computar as derivadas, usamos o fato de que, se
, então
Aqui
, de modo que
Passo 4
Aplicando ao ODE obtemos
Expandindo:
Somando,
Isso deve ser igual a
Da primeira equação (A=\tfrac16]. Substituindo na segunda,
Na terceira,
Portanto
Na terceira,
Portanto
Resposta
A solução geral da EDÖ é
onde
são as raízes da equação
e
são constantes arbitrárias.