Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores: \left(D^{2}-3 D+2\right) y=x^{2}-3
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação
\left(D^{2}-3D+2\right)y = x^{2}-3.
Informações dadas:
O operador D significa derivada em relação a x: Dy=\dfrac{dy}{dx}.
O lado direito é o polinômio \,x^{2}-3.
O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial linear com coeficientes constantes indicada acima.
Passo 2
Breve lembrança do que é o “método dos operadores” e propriedades úteis (sem pular etapas).
D é um operador linear: para quaisquer funções u,v e escalares a,b,
D(au+bv)=aDu+bDv.
Um operador polinomial em D age linearmente: se L(D)=a_0+a_1D+\cdots+a_nD^n, então
L(D)y=a_0 y + a_1 Dy + \cdots + a_n D^n y.
Para resolver L(D)y=f(x) normalmente separamos em solução geral da homogênea L(D)y=0 (chamada complementar y_c) e uma solução particular y_p tal que L(D)y_p=f(x). A solução geral é y=y_c+y_p.
Passo 3
Resolver a equação homogênea associada para obter y_c.
A equação homogênea é
\left(D^{2}-3D+2\right)y=0.
Substituindo D \mapsto r (equação característica) obtemos
r^{2}-3r+2=0.
Resolver a quadrática:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=2. Para raízes distintas reais a solução complementar é
y_c = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Passo 4
Escolha da forma da solução particular y_p (a parte prática do método dos operadores).
O lado direito é um polinômio de grau 2. Para forçar L(D)y_p=x^{2}-3 costuma-se tentar um polinômio de grau 2:
y_p = Ax^{2}+Bx+C,
com constantes A,B,C a determinar.
Regra importante (resumo didático): se 0 for raiz do polinômio característico com multiplicidade m, é preciso multiplicar o ansatz polinomial por x^{m}. Aqui as raízes da característica são 1 e 2, então 0 NÃO é raiz; logo não precisamos multiplicar por x. Portanto o ansatz acima é adequado.
Passo 5
Calcular as derivadas de y_p e aplicar o operador \left(D^{2}-3D+2\right).
Derivadas: