Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
\left(D^{2}-3 D+2\right) y=x^{2}-3

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação
\left(D^{2}-3D+2\right)y = x^{2}-3.
Informações dadas:
  • O operador D significa derivada em relação a x: Dy=\dfrac{dy}{dx}.
  • O lado direito é o polinômio \,x^{2}-3.
    O que se pede: encontrar a solução geral y(x) da equação diferencial linear com coeficientes constantes indicada acima.

Passo 2

Breve lembrança do que é o “método dos operadores” e propriedades úteis (sem pular etapas).
  • D é um operador linear: para quaisquer funções u,v e escalares a,b,
D(au+bv)=aDu+bDv.
  • Um operador polinomial em D age linearmente: se L(D)=a_0+a_1D+\cdots+a_nD^n, então
L(D)y=a_0 y + a_1 Dy + \cdots + a_n D^n y.
  • Para resolver L(D)y=f(x) normalmente separamos em solução geral da homogênea L(D)y=0 (chamada complementar y_c) e uma solução particular y_p tal que L(D)y_p=f(x). A solução geral é y=y_c+y_p.

Passo 3

Resolver a equação homogênea associada para obter y_c.
A equação homogênea é
\left(D^{2}-3D+2\right)y=0.
Substituindo D \mapsto r (equação característica) obtemos
r^{2}-3r+2=0.
Resolver a quadrática:
r^{2}-3r+2=(r-1)(r-2)=0,
portanto as raízes são r=1 e r=2. Para raízes distintas reais a solução complementar é
y_c = C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 4

Escolha da forma da solução particular y_p (a parte prática do método dos operadores).
  • O lado direito é um polinômio de grau 2. Para forçar L(D)y_p=x^{2}-3 costuma-se tentar um polinômio de grau 2:
y_p = Ax^{2}+Bx+C,
com constantes A,B,C a determinar.
  • Regra importante (resumo didático): se 0 for raiz do polinômio característico com multiplicidade m, é preciso multiplicar o ansatz polinomial por x^{m}. Aqui as raízes da característica são 1 e 2, então 0 NÃO é raiz; logo não precisamos multiplicar por x. Portanto o ansatz acima é adequado.

Passo 5

Calcular as derivadas de y_p e aplicar o operador \left(D^{2}-3D+2\right).
Derivadas:
Dy_p = \frac{d}{dx}(Ax^{2}+Bx+C)=2Ax+B,
D^{2}y_p = \frac{d}{dx}(2Ax+B)=2A.
Agora aplicar o operador:
\left(D^{2}-3D+2\right)y_p = D^{2}y_p - 3Dy_p + 2y_p.
Substituindo as expressões:
D^{2}y_p - 3Dy_p + 2y_p = 2A - 3(2Ax+B) + 2(Ax^{2}+Bx+C).

Passo 6

Expandir e agrupar termos por potências de x.
Expandindo:
2A - 6Ax - 3B + 2Ax^{2} + 2Bx + 2C.
Agrupando por grau:
  • Coeficiente de x^{2}: 2A.
  • Coeficiente de x: -6A + 2B.
  • Termo constante: 2A - 3B + 2C.
Como queremos que isso seja igual a x^{2}-3, devemos igualar coeficientes termo a termo:
\begin{cases} 2A = 1,\\[4pt] -6A + 2B = 0,\\[4pt] 2A - 3B + 2C = -3. \end{cases}]

Passo 7

Resolver o sistema para A,B,C passo a passo.
Da primeira equação,
2A=1 \quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Substituindo A=\tfrac{1}{2} na segunda:
-6\cdot \tfrac{1}{2} + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad -3 + 2B = 0 \quad\Rightarrow\quad 2B=3 \quad\Rightarrow\quad B=\tfrac{3}{2}.
Agora usar A e B na terceira:
2\cdot \tfrac{1}{2} - 3\cdot \tfrac{3}{2} + 2C = -3.
Calcular os termos: 2\cdot \tfrac{1}{2}=1 e -3\cdot \tfrac{3}{2}=-\tfrac{9}{2}. Então
1 - \tfrac{9}{2} + 2C = -3.
Somar 1-\tfrac{9}{2} = -\tfrac{7}{2}, assim
-\tfrac{7}{2} + 2C = -3 \quad\Rightarrow\quad 2C = -3 + \tfrac{7}{2} = \tfrac{1}{2} \quad\Rightarrow\quad C=\tfrac{1}{4}.

Passo 8

Escrever a solução particular encontrada e a solução geral.
A solução particular é
y_p = \tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2}x+\tfrac{1}{4}.
Portanto a solução geral da equação é a soma da complementar com a particular:
y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\tfrac{1}{2}x^{2}+\tfrac{3}{2}x+\tfrac{1}{4},
com C_{1},C_{2} constantes arbitrárias.

Resposta

y(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{2x}+\dfrac{1}{2}x^{2}+\dfrac{3}{2}x+\dfrac{1}{4}

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