Passo 1
O enunciado pede o valor da soma infinita
Informações dadas:
- A soma é sobre
inteiro positivo, de a . - Cada termo é
, isto é, .
O que se quer: calcular exatamente esse somatório (ou uma forma fechada dele).
Passo 2
Primeira ideia útil: usar a identidade de redução para
. A identidade trigonométrica básica é
Isolando
obtemos
Aqui
, logo
Explicando: isso transforma um quadrado de cosseno numa combinação de uma constante e de um cosseno de dobro do ângulo — muito útil porque o cosseno simples gera séries geométricas complexas tratáveis.
Passo 3
Substituindo a identidade na soma e usando linearidade da soma (a soma da soma é a soma dos somas):
Chamemos a primeira parcela
e a segunda
:
Passo 4
Calcular
. Isso é uma série geométrica simples. A fórmula para uma série geométrica é:
Aqui
, que satisfaz
. Portanto
Multiplicando por
temos
Passo 5
Calcular
. Para séries do tipo
é muito prático usar exponenciais complexas:
, onde
significa “parte real”.
Considere primeiro a série complexa
Isto é uma série geométrica com razão
, e para
(aqui
) vale
A série real que precisamos é a parte real com
:
Passo 6
Calcular explicitamente a parte real. Podemos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Mas há uma forma direta e conhecida do resultado:
Vou derivar rapidamente: comece com
, multiplique topo e base por
, obtém-se
. A parte real do numerador é
. Portanto a fórmula acima.
Aplicando com
e
,
Simplificando numerador e denominador (multiplicando topo e base por
):
Finalmente, lembrar do fator
em
:
Passo 7
Somar
e
:
Fazer uma simplificação algébrica para obter uma única fração. Colocando em denominador comum:
Somando numeradores:
Portanto
Dividindo numerador e denominador por
obtemos a forma mais enxuta