1. \sum_{n=1}^{\infty} 5^{-n} \cos ^{2} n

Passo 1

O enunciado pede o valor da soma infinita
\sum_{n=1}^{\infty} 5^{-n}\cos^{2}n.
Informações dadas:
  • A soma é sobre n inteiro positivo, de 1 a \infty.
  • Cada termo é 5^{-n}\cos^{2}n, isto é, \left(\dfrac{1}{5}\right)^{n}\cos^{2}n.
O que se quer: calcular exatamente esse somatório (ou uma forma fechada dele).

Passo 2

Primeira ideia útil: usar a identidade de redução para \cos^{2}. A identidade trigonométrica básica é
\cos(2x)=2\cos^{2}x-1.
Isolando \cos^{2}x obtemos
\cos^{2}x=\frac{1+\cos(2x)}{2}.
Aqui x=n, logo
\cos^{2}n=\frac{1+\cos(2n)}{2}.
Explicando: isso transforma um quadrado de cosseno numa combinação de uma constante e de um cosseno de dobro do ângulo — muito útil porque o cosseno simples gera séries geométricas complexas tratáveis.

Passo 3

Substituindo a identidade na soma e usando linearidade da soma (a soma da soma é a soma dos somas):
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos^{2}n = \sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cdot\frac{1+\cos(2n)}{2} = \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n} \;+\; \frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos(2n).
Chamemos a primeira parcela S_1 e a segunda S_2:
S_1=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n},\qquad S_2=\frac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos(2n).

Passo 4

Calcular S_1. Isso é uma série geométrica simples. A fórmula para uma série geométrica é:
\sum_{n=1}^{\infty} r^{n}=\frac{r}{1-r}\quad\text{para }|r|<1.
Aqui r=\dfrac{1}{5}, que satisfaz |r|<1. Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}=\frac{1/5}{1-1/5}=\frac{1/5}{4/5}=\frac{1}{4}.
Multiplicando por \dfrac{1}{2} temos
S_1=\frac{1}{2}\cdot\frac{1}{4}=\frac{1}{8}.

Passo 5

Calcular S_2=\dfrac{1}{2}\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos(2n). Para séries do tipo \sum r^{n}\cos(n\theta) é muito prático usar exponenciais complexas: \cos(n\theta)=\Re\big(e^{in\theta}\big), onde \Re significa “parte real”.
Considere primeiro a série complexa
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}e^{i n\theta}=\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i\theta}}{5}\right)^{n}.
Isto é uma série geométrica com razão r=\dfrac{e^{i\theta}}{5}, e para |r|<1 (aqui |r|=\dfrac{1}{5}<1) vale
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{e^{i\theta}}{5}\right)^{n}=\frac{\dfrac{e^{i\theta}}{5}}{1-\dfrac{e^{i\theta}}{5}}=\frac{e^{i\theta}}{5-e^{i\theta}}.
A série real que precisamos é a parte real com \theta=2:
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\cos(2n) =\Re\!\left(\frac{e^{i2}}{5-e^{i2}}\right).

Passo 6

Calcular explicitamente a parte real. Podemos usar a técnica de multiplicar numerador e denominador pelo conjugado do denominador. Mas há uma forma direta e conhecida do resultado:
\sum_{n=1}^{\infty}r^{n}\cos(n\theta)=\frac{r\cos\theta-r^{2}}{1-2r\cos\theta+r^{2}}\quad\text{para }|r|<1.
Vou derivar rapidamente: comece com \dfrac{re^{i\theta}}{1-re^{i\theta}}, multiplique topo e base por 1-re^{-i\theta}, obtém-se \dfrac{re^{i\theta}-r^{2}}{1-2r\cos\theta+r^{2}}. A parte real do numerador é r\cos\theta-r^{2}. Portanto a fórmula acima.
Aplicando com r=\dfrac{1}{5} e \theta=2,
\sum_{n=1}^{\infty}\left(\frac{1}{5}\right)^{n}\cos(2n) =\frac{\dfrac{1}{5}\cos 2-\dfrac{1}{25}}{1-2\cdot\dfrac{1}{5}\cos 2+\dfrac{1}{25}}.
Simplificando numerador e denominador (multiplicando topo e base por 25):
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos(2n)=\frac{5\cos 2-1}{26-10\cos 2}.
Finalmente, lembrar do fator \dfrac{1}{2} em S_2:
S_2=\frac{1}{2}\cdot\frac{5\cos 2-1}{26-10\cos 2}.

Passo 7

Somar S_1 e S_2:
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos^{2}n = S_1+S_2 = \frac{1}{8} + \frac{1}{2}\cdot\frac{5\cos 2-1}{26-10\cos 2}.
Fazer uma simplificação algébrica para obter uma única fração. Colocando em denominador comum:
\frac{1}{8}=\frac{26-10\cos 2}{8(26-10\cos 2)}, \qquad \frac{1}{2}\cdot\frac{5\cos 2-1}{26-10\cos 2}=\frac{4(5\cos 2-1)}{8(26-10\cos 2)}.
Somando numeradores:
(26-10\cos 2)+4(5\cos 2-1)=26-10\cos 2+20\cos 2-4=22+10\cos 2.
Portanto
\sum_{n=1}^{\infty}5^{-n}\cos^{2}n=\frac{22+10\cos 2}{8(26-10\cos 2)}.
Dividindo numerador e denominador por 2 obtemos a forma mais enxuta
\boxed{\;\frac{11+5\cos 2}{8(13-5\cos 2)}\; }.

Resposta

\dfrac{11+5\cos 2}{8(13-5\cos 2)}

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