1. (b) Explique a diferença entre
\sum_{i=1}^{n} a_{i} \quad \text { e } \quad \sum_{i=1}^{n} a_{j}

Passo 1

O enunciado pede que eu explique a diferença entre as duas somas abaixo:
\sum_{i=1}^{n} a_{i}
e
\sum_{i=1}^{n} a_{j}.
Informações dadas:
  • Aparecem duas somas com o mesmo símbolo de somatório e os mesmos limites i=1 até n.
  • A primeira soma tem o termo geral a_{i}.
  • A segunda soma tem o termo geral a_{j}.
    O que é pedido: explicar em que situações essas duas expressões representam coisas diferentes (ou iguais) e como interpretá‑las corretamente.

Passo 2

O que significa a notação \sum_{i=1}^{n} a_{i}.
  • A expressão \sum_{i=1}^{n} a_{i} é a soma dos termos da sequência (a_k)_{k\ge1} tomando i como índice que varia de 1 até n.
  • Em palavras: \sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}.
  • Aqui i é uma variável de somação (um “índice de soma”) que atua como um rótulo temporário — ou seja, é um “nome” que identifica cada termo enquanto somamos. Esse rótulo não tem significado fora do somatório.

Passo 3

Conceito importante: índice ligado (dummy) e renomeação.
  • O índice de somação é uma variável ligada (também chamada de variável dummy): pode ser renomeado sem alterar o valor da soma, desde que se renomeie em todo o somatório.
  • Por exemplo,
\sum_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{j},
porque mudar o nome do índice não muda a operação (ambas representam a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}).
  • Portanto, em somas bem formadas o índice que aparece nos limites deve também aparecer (ou influenciar) no termo geral do somatório.

Passo 4

Interpretando \sum_{i=1}^{n} a_{j}: caso 1 — j é um índice fixo (constante).
  • Se j for um número fixo (por exemplo j=2), então a_{j} é uma constante durante a soma e não depende de i.
  • Logo a soma repete a_{j} exatamente n vezes:
\sum_{i=1}^{n} a_{j}=a_{j}+a_{j}+\dots+a_{j}=n\,a_{j}.
  • Exemplo numérico: seja a_k=k e n=4. Então
\sum_{i=1}^{4} a_{i}=1+2+3+4=10,
enquanto, se j=2,
\sum_{i=1}^{4} a_{j}=a_{2}+a_{2}+a_{2}+a_{2}=2+2+2+2=8=4\cdot a_{2}.

Passo 5

Interpretando \sum_{i=1}^{n} a_{j}: caso 2 — j é indefinido ou era para variar.
  • Se j não foi definido no enunciado (ou se a intenção era que j também fosse um índice de soma), então a expressão é ambígua ou incorreta: escrever um índice diferente dentro do termo sem defini‑lo cria ambiguidade.
  • Se a intenção era somar sobre j também, o correto seria escrever \sum_{j=1}^{n} a_{j} (ou usar uma soma dupla, etc.). Nesse caso, por renomeação de índices, \sum_{j=1}^{n} a_{j}=\sum_{i=1}^{n} a_{i}.

Passo 6

Casos com dependência mútua (para contrastar).
  • Quando o termo depende de ambos os índices, por exemplo \sum_{i=1}^{n} a_{i+j}, aí o valor depende de i e do parâmetro j. Essa é uma expressão legítima e diferente de \sum_{i=1}^{n} a_{i} ou de n a_{j}.
  • Exemplo: com a_k=k, n=3 e j=1,
\sum_{i=1}^{3} a_{i+j}=\sum_{i=1}^{3} a_{i+1}=a_{2}+a_{3}+a_{4}=2+3+4=9,
o que é diferente de \sum_{i=1}^{3} a_{i}=1+2+3=6 e de 3a_{1}=3\cdot1=3.

Passo 7

Regra prática e dica para prova (resumindo do ponto de vista operacional).
  • Verifique se o índice escrito nos limites aparece no termo geral; se não aparecer, ou o termo é constante (e a soma vale n vezes esse termo) ou há um erro/ambiguidade.
  • Lembre‑se: o índice de somação é apenas um rótulo; pode‑se trocar i por j sem alterar a soma, desde que não haja conflito com outras variáveis livres no problema.
  • Se encontrar \sum_{i=1}^{n} a_{j} numa prova, pergunte (ou assuma quando razoável) se j é fixo; se for um erro tipográfico, corrija para \sum_{j=1}^{n} a_{j}.

Resposta

\sum_{i=1}^{n} a_{i}=a_{1}+a_{2}+\dots+a_{n}.
\sum_{i=1}^{n} a_{j}=n\,a_{j} se j for um índice fixo (constante); se j for indefinido a expressão é ambígua.
Além disso, por renomeação de índice, \sum_{i=1}^{n} a_{i}=\sum_{j=1}^{n} a_{j}.

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