- (b) Explique a diferença entre
Passo 1
O enunciado pede que eu explique a diferença entre as duas somas abaixo:
e
Informações dadas:
- Aparecem duas somas com o mesmo símbolo de somatório e os mesmos limites
até . - A primeira soma tem o termo geral
. - A segunda soma tem o termo geral
.
O que é pedido: explicar em que situações essas duas expressões representam coisas diferentes (ou iguais) e como interpretá‑las corretamente.
Passo 2
O que significa a notação
.
- A expressão
é a soma dos termos da sequência tomando como índice que varia de até . - Em palavras:
. - Aqui
é uma variável de somação (um “índice de soma”) que atua como um rótulo temporário — ou seja, é um “nome” que identifica cada termo enquanto somamos. Esse rótulo não tem significado fora do somatório.
Passo 3
Conceito importante: índice ligado (dummy) e renomeação.
- O índice de somação é uma variável ligada (também chamada de variável dummy): pode ser renomeado sem alterar o valor da soma, desde que se renomeie em todo o somatório.
- Por exemplo,
porque mudar o nome do índice não muda a operação (ambas representam
).
- Portanto, em somas bem formadas o índice que aparece nos limites deve também aparecer (ou influenciar) no termo geral do somatório.
Passo 4
Interpretando
: caso 1 —
é um índice fixo (constante).
- Se
for um número fixo (por exemplo ), então é uma constante durante a soma e não depende de . - Logo a soma repete
exatamente vezes:
- Exemplo numérico: seja
e . Então
enquanto, se
,
Passo 5
Interpretando
: caso 2 —
é indefinido ou era para variar.
- Se
não foi definido no enunciado (ou se a intenção era que também fosse um índice de soma), então a expressão é ambígua ou incorreta: escrever um índice diferente dentro do termo sem defini‑lo cria ambiguidade. - Se a intenção era somar sobre
também, o correto seria escrever (ou usar uma soma dupla, etc.). Nesse caso, por renomeação de índices, .
Passo 6
Casos com dependência mútua (para contrastar).
- Quando o termo depende de ambos os índices, por exemplo
, aí o valor depende de e do parâmetro . Essa é uma expressão legítima e diferente de ou de . - Exemplo: com
, e ,
o que é diferente de
e de
.
Passo 7
Regra prática e dica para prova (resumindo do ponto de vista operacional).
- Verifique se o índice escrito nos limites aparece no termo geral; se não aparecer, ou o termo é constante (e a soma vale
vezes esse termo) ou há um erro/ambiguidade. - Lembre‑se: o índice de somação é apenas um rótulo; pode‑se trocar
por sem alterar a soma, desde que não haja conflito com outras variáveis livres no problema. - Se encontrar
numa prova, pergunte (ou assuma quando razoável) se é fixo; se for um erro tipográfico, corrija para .
Resposta
Além disso, por renomeação de índice,