Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes
onde
significa derivada em relação a
, isto é,
,
. O que se pede implicitamente é a solução geral
dessa equação (solução complementar + solução particular). As informações relevantes são:
- Operador diferencial:
. - Termo não-homogêneo:
.
A próxima etapa é obter a solução geral, com solução da homogênea e uma solução particular. Vou resolver passo a passo, explicando cada técnica usada.
Passo 2
Encontrar a solução complementar
resolvendo a homogênea
Formamos a equação característica trocando
por
:
Resolvendo a quadrática:
portanto
e
. Cada raiz simples
dá uma solução exponencial
. Logo a solução complementar é
onde
são constantes arbitrárias.
Passo 3
Resolver a parte do termo não-homogêneo
usando a técnica de substituição por deslocamento de operador (regra do deslocamento): ao escrever
e aplicar
em
tem-se
; assim,
é substituído por
quando se “fatoriza”
.
Tomamos
para lidar com
. Aplicando
em
e trocando
por
obtemos:
Calculemos
:
Logo a equação para
é
Reescrevendo
. Para resolver, podemos primeiro definir
. Então
, isto é
. Integramos:
Como estamos buscando uma solução particular, podemos tomar
(qualquer constante aqui corresponde a uma solução da homogênea global quando multiplicada por
; esses termos serão absorvidos em
). Assim
. Voltando,
.
Agora resolvemos a ODE linear de 1ª ordem para
:
Uma maneira direta é procurar
como polinômio de grau 2: suponha
Calculamos
e substituímos:
Agrupando coeficientes por potências de
:
- coeficiente de
: → ; - coeficiente de
: → usando dá → ; - termo constante:
→ → .
Portanto
A solução particular correspondente é
Nota didática rápida: a constante de integração que apareceu no passo
daria uma componente
em
, ou seja, termo proporcional a
que está na solução complementar; por isso escolhemos
para obter uma única particular conveniente.
Passo 4
Resolver a parte
. Usamos novamente a substituição por deslocamento: tomamos
. Aplicando
e trocando
por
:
Calculemos
:
Portanto a equação para
é
ou seja
.
Como o lado direito é combinação de
e
, é natural procurar
na forma
com
constantes a determinar. Calculamos:
Então
Simplificando:
Isso deve ser igual a
. Igualando coeficientes:
Da segunda equação vem
. Substituindo na primeira:
Logo
. Assim
Portanto
Passo 5
Combinar tudo: a solução particular total é
. A solução geral é soma da complementar com a particular:
Substituindo as expressões obtidas:
Pode-se, se desejar, agrupar termos em
e
, mas a expressão acima já é a forma final da solução geral.