Resolver as seguintes equações diferenciais empregando o método dos operadores:
\left(D^{2}-4 D+3\right) y=2 x e^{3 x}+3 e^{x} \cos 2 x

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial linear de coeficientes constantes
\left(D^{2}-4D+3\right)y = 2x e^{3x} + 3 e^{x}\cos 2x,
onde D significa derivada em relação a x, isto é, D y = y', D^2 y = y''. O que se pede implicitamente é a solução geral y(x) dessa equação (solução complementar + solução particular). As informações relevantes são:
  • Operador diferencial: \,L(D)=D^{2}-4D+3.
  • Termo não-homogêneo: \,f(x)=2x e^{3x}+3 e^{x}\cos 2x.
    A próxima etapa é obter a solução geral y=y_c+y_p, com y_c solução da homogênea L(D)y=0 e y_p uma solução particular. Vou resolver passo a passo, explicando cada técnica usada.

Passo 2

Encontrar a solução complementar y_c resolvendo a homogênea
\left(D^{2}-4D+3\right)y=0.
Formamos a equação característica trocando D por r:
r^{2}-4r+3=0.
Resolvendo a quadrática:
r=\frac{4\pm\sqrt{(-4)^{2}-4\cdot1\cdot3}}{2}=\frac{4\pm\sqrt{16-12}}{2}=\frac{4\pm2}{2},
portanto r=3 e r=1. Cada raiz simples r dá uma solução exponencial e^{rx}. Logo a solução complementar é
y_c = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x},
onde C_{1},C_{2} são constantes arbitrárias.

Passo 3

Resolver a parte do termo não-homogêneo 2x e^{3x} usando a técnica de substituição por deslocamento de operador (regra do deslocamento): ao escrever y=e^{ax}u(x) e aplicar D em e^{ax}u tem-se D(e^{ax}u)=e^{ax}(D+a)u; assim, D é substituído por D+a quando se “fatoriza” e^{ax}.
Tomamos y_{p1}=e^{3x}u(x) para lidar com 2x e^{3x}. Aplicando L(D) em e^{3x}u e trocando D por D+3 obtemos:
L(D)(e^{3x}u)=e^{3x}L(D+3)u.
Calculemos L(D+3):
L(D+3)=(D+3)^{2}-4(D+3)+3=D^{2}+6D+9-4D-12+3=D^{2}+2D.
Logo a equação para u é
\left(D^{2}+2D\right)u = 2x.
Reescrevendo \left(D^{2}+2D\right)u = D(D+2)u. Para resolver, podemos primeiro definir w=(D+2)u. Então D w = 2x, isto é w'=2x. Integramos:
w(x)=\int 2x\,dx = x^{2} + C.
Como estamos buscando uma solução particular, podemos tomar C=0 (qualquer constante aqui corresponde a uma solução da homogênea global quando multiplicada por e^{3x}; esses termos serão absorvidos em y_c). Assim w=x^{2}. Voltando, w=(D+2)u = u'+2u = x^{2}.
Agora resolvemos a ODE linear de 1ª ordem para u:
u'+2u = x^{2}.
Uma maneira direta é procurar u como polinômio de grau 2: suponha
u(x)=a x^{2}+b x + c.
Calculamos u' = 2a x + b e substituímos:
(2a x + b) + 2(a x^{2}+b x + c) = x^{2}.
Agrupando coeficientes por potências de x:
  • coeficiente de x^{2}: 2a = 1 a=\tfrac{1}{2};
  • coeficiente de x: 2a + 2b = 0 → usando a=\tfrac{1}{2} 1 + 2b =0 b=-\tfrac{1}{2};
  • termo constante: b + 2c = 0 -\tfrac{1}{2} + 2c = 0 c=\tfrac{1}{4}.
Portanto
u(x)=\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}.
A solução particular correspondente é
y_{p1}=e^{3x}u(x)=e^{3x}\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\right).
Nota didática rápida: a constante de integração que apareceu no passo w=x^{2}+C daria uma componente e^{3x}\cdot C e^{-2x}=C e^{x} em y, ou seja, termo proporcional a e^{x} que está na solução complementar; por isso escolhemos C=0 para obter uma única particular conveniente.

Passo 4

Resolver a parte 3 e^{x}\cos 2x. Usamos novamente a substituição por deslocamento: tomamos y_{p2}=e^{x}v(x). Aplicando L(D) e trocando D por D+1:
L(D)(e^{x}v)=e^{x}L(D+1)v.
Calculemos L(D+1):
L(D+1)=(D+1)^{2}-4(D+1)+3=D^{2}+2D+1-4D-4+3=D^{2}-2D.
Portanto a equação para v é
\left(D^{2}-2D\right)v = 3\cos 2x,
ou seja D(D-2)v = 3\cos 2x.
Como o lado direito é combinação de \cos 2x e \sin 2x, é natural procurar v na forma
v(x)=A\cos 2x + B\sin 2x,
com A,B constantes a determinar. Calculamos:
v' = -2A\sin 2x + 2B\cos 2x,
v'' = -4A\cos 2x -4B\sin 2x.
Então
D(D-2)v = v'' - 2v' = (-4A\cos 2x -4B\sin 2x) -2(-2A\sin 2x + 2B\cos 2x).
Simplificando:
D(D-2)v = (-4A -4B)\cos 2x + (4A -4B)\sin 2x.
Isso deve ser igual a 3\cos 2x + 0\cdot\sin 2x. Igualando coeficientes:
-4A -4B = 3,\qquad 4A -4B = 0.
Da segunda equação vem A=B. Substituindo na primeira:
-4A -4A = -8A = 3 \quad\Rightarrow\quad A = -\tfrac{3}{8}.
Logo B=A=-\tfrac{3}{8}. Assim
v(x) = -\tfrac{3}{8}\big(\cos 2x + \sin 2x\big).
Portanto
y_{p2} = e^{x} v(x) = -\tfrac{3}{8} e^{x}\big(\cos 2x + \sin 2x\big).

Passo 5

Combinar tudo: a solução particular total é y_{p}=y_{p1}+y_{p2}. A solução geral é soma da complementar com a particular:
y(x) = y_c + y_{p1} + y_{p2}.
Substituindo as expressões obtidas:
y(x) = C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x} + e^{3x}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\right) - \tfrac{3}{8} e^{x}\big(\cos 2x + \sin 2x\big).
Pode-se, se desejar, agrupar termos em e^{x} e e^{3x}, mas a expressão acima já é a forma final da solução geral.

Resposta

y(x)=C_{1} e^{x} + C_{2} e^{3x} + e^{3x}\!\left(\tfrac{1}{2}x^{2}-\tfrac{1}{2}x+\tfrac{1}{4}\right) - \tfrac{3}{8} e^{x}\big(\cos 2x + \sin 2x\big)

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