Determine um operador diferencial linear que anule a função dada:
1+6 x-2 x^{3}
1+6 x-2 x^{3}
Passo 1
O enunciado dá a função
e pede: determinar um operador diferencial linear que anule essa função (isto é, um operador linear
tal que
).
Informações relevantes fornecidas:
Informações relevantes fornecidas:
- A função é um polinômio de grau
. - Não há outras restrições impostas pelo enunciado (podemos escolher qualquer operador diferencial linear que satisfaça a condição).
Passo 2
O que é um operador diferencial linear aqui?
- Definindo
como o operador derivada: . - Um operador diferencial linear com coeficientes constantes pode ser escrito como um polinômio em
, por exemplo . - Esse operador é linear porque para quaisquer funções
e escalares vale .
Estratégia simples e usual: para anular um polinômio de grau
basta aplicar derivadas suficientes até zerá‑lo. Mais precisamente, se
é polinômio de grau
então a derivada de ordem
é identicamente zero:
Aqui
, então
é um candidato natural. Vou mostrar isso passo a passo.
Passo 3
Calcular as derivadas de
passo a passo (cada passo com a regra básica da derivada):
- Primeira derivada: a derivada de
é ; a derivada de é ; a derivada de é . Logo
- Segunda derivada: derivando
, a derivada de é e de é . Logo
- Terceira derivada: derivando
, obtém-se . Logo
- Quarta derivada: derivando a constante
, obtém-se . Logo
Passo 4
Interpretação e conclusão a partir das derivadas calculadas:
- Observou‑se que
é a constante , portanto não é zero, então derivadas de ordem até não anulam . - Observou‑se que
, isto é, a derivada de ordem aplicada a é identicamente zero em todo .
Portanto o operadoranula .
Passo 5
Observações adicionais úteis para a prova (mastigadas):
- Qualquer operador diferencial linear que tenha
como fator também anula . Por exemplo, se então . Em especial, qualquer múltiplo escalar de anula . - O operador de menor ordem com coeficientes constantes que anula
é , porque mas . Isso é útil: para um polinômio de grau o menor operador que anula é com .