Determine um operador diferencial linear que anule a função dada:
1+6 x-2 x^{3}

Passo 1

O enunciado dá a função
f(x)=1+6x-2x^{3}
e pede: determinar um operador diferencial linear que anule essa função (isto é, um operador linear L tal que L[f]=0).
Informações relevantes fornecidas:
  • A função é um polinômio de grau 3.
  • Não há outras restrições impostas pelo enunciado (podemos escolher qualquer operador diferencial linear que satisfaça a condição).

Passo 2

O que é um operador diferencial linear aqui?
  • Definindo D como o operador derivada: D[g]=\dfrac{dg}{dx}.
  • Um operador diferencial linear com coeficientes constantes pode ser escrito como um polinômio em D, por exemplo a_{n}D^{n}+a_{n-1}D^{n-1}+\cdots+a_1D+a_0.
  • Esse operador é linear porque para quaisquer funções u,v e escalares \alpha,\beta vale L[\alpha u+\beta v]=\alpha L[u]+\beta L[v].
Estratégia simples e usual: para anular um polinômio de grau m basta aplicar derivadas suficientes até zerá‑lo. Mais precisamente, se f é polinômio de grau m então a derivada de ordem m+1 é identicamente zero:
D^{m+1}[f]=0.
Aqui m=3, então D^{4} é um candidato natural. Vou mostrar isso passo a passo.

Passo 3

Calcular as derivadas de f(x)=1+6x-2x^{3} passo a passo (cada passo com a regra básica da derivada):
  • Primeira derivada: a derivada de 1 é 0; a derivada de 6x é 6; a derivada de -2x^{3} é -6x^{2}. Logo
D[f](x)=f'(x)=6-6x^{2}.
  • Segunda derivada: derivando 6-6x^{2}, a derivada de 6 é 0 e de -6x^{2} é -12x. Logo
D^{2}[f](x)=f''(x)=-12x.
  • Terceira derivada: derivando -12x, obtém-se -12. Logo
D^{3}[f](x)=f^{(3)}(x)=-12.
  • Quarta derivada: derivando a constante -12, obtém-se 0. Logo
D^{4}[f](x)=f^{(4)}(x)=0.

Passo 4

Interpretação e conclusão a partir das derivadas calculadas:
  • Observou‑se que D^{3}[f] é a constante -12, portanto não é zero, então derivadas de ordem até 3 não anulam f.
  • Observou‑se que D^{4}[f]=0, isto é, a derivada de ordem 4 aplicada a f é identicamente zero em todo x.
    Portanto o operador D^{4} anula f.

Passo 5

Observações adicionais úteis para a prova (mastigadas):
  • Qualquer operador diferencial linear que tenha D^{4} como fator também anula f. Por exemplo, se L(D)=(D^{4})(a_{k}D^{k}+\cdots+a_0) então L[f]=0. Em especial, qualquer múltiplo escalar de D^{4} anula f.
  • O operador de menor ordem com coeficientes constantes que anula f é D^{4}, porque D^{3}[f]\neq0 mas D^{4}[f]=0. Isso é útil: para um polinômio de grau m o menor operador D^{n} que anula é com n=m+1.

Resposta

\dfrac{d^{4}}{dx^{4}}

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