Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-12 y=0
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-12 y=0
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Informações dadas que vamos usar:
- A equação é linear, homogênea e tem coeficientes que são potências de
(coeficientes não constantes: , , ). - A incógnita é a função
e queremos a solução geral (duas constantes arbitrárias, pois é uma EDO de segunda ordem).
Passo 2
Motivação e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
Quando os coeficientes são potências de (como
), uma técnica natural é testar soluções do tipo
Quando os coeficientes são potências de
onde
é um número a determinar. A ideia por trás disso: derivadas de potências de
também são potências de
com expoentes deslocados, o que permite fatorar
e reduzir a EDO a uma equação algébrica para
. Vamos fazer isso passo a passo.
Passo 3
Calcular
e
para a tentativa
.
Aqui usei regras básicas de derivação de potências: se
então
e derivando novamente multiplica-se por
e diminui o expoente em mais 1.
Passo 4
Substituir
,
e
na equação e fatorar
.
Substituindo:
Substituindo:
Simplificando os fatores
(todos termos têm
):
Como
não é identicamente zero (estamos procurando funções), o fator entre colchetes deve ser zero. Isso nos dá a equação característica (algébrica) para
:
Passo 5
Resolver a equação característica.
Primeiro expandir:
Primeiro expandir:
Esta é uma equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
Como
, as raízes são
Portanto as duas raízes são
Passo 6
Construir a solução geral a partir das raízes encontradas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas e
, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas
onde
e
são constantes arbitrárias. Substituindo
e
, obtemos
Observações práticas: esta forma é válida para
. Como aqui os expoentes são inteiros (
e
), a expressão também é bem definida para
; há cuidado se a solução precisar ser contínua passando por
— normalmente soluções de equações de Euler são tratadas separadamente para
e
.