Resolva as seguintes equações diferenciais:
x^{2} \frac{d^{2} y}{d x^{2}}+2 x \frac{d y}{d x}-12 y=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
x^{2}\frac{d^{2}y}{dx^{2}}+2x\frac{dy}{dx}-12y=0.
Informações dadas que vamos usar:
  • A equação é linear, homogênea e tem coeficientes que são potências de x (coeficientes não constantes: x^{2}, 2x, -12).
  • A incógnita é a função y(x) e queremos a solução geral (duas constantes arbitrárias, pois é uma EDO de segunda ordem).

Passo 2

Motivação e escolha do método (explicação didática, sem pular etapas).
Quando os coeficientes são potências de x (como x^{2},x), uma técnica natural é testar soluções do tipo
y=x^{r},
onde r é um número a determinar. A ideia por trás disso: derivadas de potências de x também são potências de x com expoentes deslocados, o que permite fatorar x^{r} e reduzir a EDO a uma equação algébrica para r. Vamos fazer isso passo a passo.

Passo 3

Calcular y' e y'' para a tentativa y=x^{r}.
y=x^{r}
\frac{dy}{dx}=r x^{r-1}
\frac{d^{2}y}{dx^{2}}=r(r-1)x^{r-2}
Aqui usei regras básicas de derivação de potências: se y=x^{r} então \dfrac{dy}{dx}=r x^{r-1} e derivando novamente multiplica-se por (r-1) e diminui o expoente em mais 1.

Passo 4

Substituir y, y' e y'' na equação e fatorar x^{r}.
Substituindo:
x^{2}\bigl(r(r-1)x^{r-2}\bigr)+2x\bigl(r x^{r-1}\bigr)-12\bigl(x^{r}\bigr)=0.
Simplificando os fatores x (todos termos têm x^{r}):
\bigl[r(r-1)+2r-12\bigr]x^{r}=0.
Como x^{r} não é identicamente zero (estamos procurando funções), o fator entre colchetes deve ser zero. Isso nos dá a equação característica (algébrica) para r:
r(r-1)+2r-12=0.

Passo 5

Resolver a equação característica.
Primeiro expandir:
r^{2}-r+2r-12=0
r^{2}+r-12=0.
Esta é uma equação quadrática. Calcula-se o discriminante:
\Delta = 1^{2}-4\cdot 1\cdot(-12)=1+48=49.
Como \Delta=49, as raízes são
r=\frac{-1\pm\sqrt{49}}{2}=\frac{-1\pm7}{2}.
Portanto as duas raízes são
r_{1}=\frac{-1+7}{2}=3,\qquad r_{2}=\frac{-1-7}{2}=-4.

Passo 6

Construir a solução geral a partir das raízes encontradas.
Quando a equação característica tem duas raízes reais distintas r_{1} e r_{2}, a solução geral da equação de Euler-Cauchy é
y(x)=C_{1}x^{r_{1}}+C_{2}x^{r_{2}},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias. Substituindo r_{1}=3 e r_{2}=-4, obtemos
y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4}.
Observações práticas: esta forma é válida para x>0. Como aqui os expoentes são inteiros ( 3 e -4), a expressão também é bem definida para x<0; há cuidado se a solução precisar ser contínua passando por x=0 — normalmente soluções de equações de Euler são tratadas separadamente para x>0 e x<0.

Resposta

y(x)=C_{1}x^{3}+C_{2}x^{-4}

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