Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
onde
e
. Observamos que
e
são homogêneos de grau 1 em
. Logo, vamos usar a substituição
com
, para reduzir a equação a variáveis separáveis.
Passo 2
Dividindo por
e isolando
, temos
Com
, calcula-se
Substituindo em
e usando
dá
Isolando
,
Passo 3
Reescrevendo como separável,
Agora integramos ambos os lados.
Passo 4
No lado esquerdo, decompomos
Então
A primeira integral é
Para a segunda, observe que as raízes de
são
e uma tabela de frações parciais mostra que
Logo
Passo 5
No lado direito,
. Igualando constantes
e voltando a
, obtemos a solução implícita
Multiplicando tudo por 2 e exponenciando, conclui-se que a solução geral pode ser escrita de modo equivalente como
onde
e
é constante arbitrária.