Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
(4 y+5 x) d x+(5 y+7 t) d y=0

Passo 1

O enunciado nos dá a equação diferencial em forma de diferencial total
(4y+5x)\,dx + (5y+7x)\,dy = 0
onde M(x,y)=4y+5x e N(x,y)=5y+7x. Observamos que M e N são homogêneos de grau 1 em (x,y). Logo, vamos usar a substituição
y = u x,
com u=u(x), para reduzir a equação a variáveis separáveis.

Passo 2

Dividindo por dx e isolando dy/dx, temos
\frac{dy}{dx} = -\,\frac{4y+5x}{5y+7x}.
Com y=ux, calcula-se
\frac{dy}{dx} = u + x\frac{du}{dx}.
Substituindo em \frac{dy}{dx} = -\frac{4y+5x}{5y+7x} e usando y=ux
u + x\frac{du}{dx} = -\,\frac{4(ux)+5x}{5(ux)+7x} = -\,\frac{4u+5}{5u+7}.
Isolando x\,du/dx,
x\frac{du}{dx} = -\,\frac{4u+5}{5u+7} - u = -\,\frac{5u^2 +11u +5}{5u+7}.

Passo 3

Reescrevendo como separável,
\frac{5u+7}{5u^2+11u+5}\,du = -\,\frac{dx}{x}.
Agora integramos ambos os lados.

Passo 4

No lado esquerdo, decompomos
\frac{5u+7}{5u^2+11u+5} = \frac12\;\frac{10u+11}{5u^2+11u+5} \;+\;\frac{3/2}{5u^2+11u+5}.
Então
\int \frac{5u+7}{5u^2+11u+5}\,du = \frac12\int \frac{10u+11}{5u^2+11u+5}\,du + \frac{3}{2}\int \frac{du}{5u^2+11u+5}.
A primeira integral é
\frac12\ln\bigl|5u^2+11u+5\bigr|.
Para a segunda, observe que as raízes de 5u^2+11u+5 são
u_{1,2} = \frac{-11\pm\sqrt{11^2-4\cdot5\cdot5}}{2\cdot5} = \frac{-11\pm\sqrt{21}}{10},
e uma tabela de frações parciais mostra que
\int \frac{du}{5u^2+11u+5} = \frac{1}{\sqrt{21}}\, \ln\biggl|\frac{u - u_1}{u - u_2}\biggr|.
Logo
\int \frac{5u+7}{5u^2+11u+5}\,du = \frac12\ln\bigl|5u^2+11u+5\bigr| + \frac{3}{2\sqrt{21}} \ln\biggl|\frac{u - u_1}{u - u_2}\biggr| + C_1.

Passo 5

No lado direito, \displaystyle\int -\frac{dx}{x} = -\ln|x| + C_2. Igualando constantes C=C_2-C_1 e voltando a u=y/x, obtemos a solução implícita
\frac12\ln\bigl|5\,(y/x)^2 +11\,(y/x)+5\bigr| + \frac{3}{2\sqrt{21}} \ln\!\biggl|\frac{\tfrac{y}{x} - u_1}{\tfrac{y}{x} - u_2}\biggr| = -\ln|x| + C.
Multiplicando tudo por 2 e exponenciando, conclui-se que a solução geral pode ser escrita de modo equivalente como
\bigl|5y^2 +11xy +5x^2\bigr|\, \biggl|\frac{y - u_1 x}{y - u_2 x}\biggr|^{\tfrac{3}{\sqrt{21}}} = C',
onde u_{1,2} = \tfrac{-11\pm\sqrt{21}}{10} e C' é constante arbitrária.

Resposta

\boxed{ \bigl(5y^2 +11xy +5x^2\bigr)\, \biggl(\frac{y - \tfrac{-11+\sqrt{21}}{10}\,x}{y - \tfrac{-11-\sqrt{21}}{10}\,x}\biggr)^{\tfrac{3}{\sqrt{21}}} = C }.

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