Resolver as seguintes equações diferenciais homogêneas:
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
que é homogênea porque o membro direito depende apenas da razão
. Para resolver, vamos usar a substituição
ou seja,
.
Passo 2
Calculamos
em função de
:
Substituindo na equação original:
Passo 3
Isolando
:
Logo
Passo 4
Integramos ambos os lados:
Para a parte em
fazemos decomposição em frações parciais e obtemos
Do outro lado é
Passo 5
Igualando as integrais e exponenciando, obtemos
onde
é constante. Absorvendo o sinal de
em
, podemos escrever
Voltando a
com
:
Resposta
A solução geral implícita da equação é
onde
é constante arbitrária.