Resolver as seguintes equações diferenciais:
Passo 1
O enunciado pede para resolver a equação diferencial
Ou seja, encontrar todas as funções
que satisfazem essa igualdade para todo
. As informações dadas são: aparecem a derivada primeira
e a derivada segunda
, e há uma constante numérica
. O objetivo é obter a solução geral
(que normalmente terá duas constantes arbitrárias, porque temos uma equação de segunda ordem).
Passo 2
Uma maneira prática de simplificar é reduzir a ordem: defina uma nova função igual à derivada primeira. Seja
Então a derivada de
é
Substituindo na equação dada, obtemos uma equação para
:
Reescrevendo,
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem para
.
Passo 3
Vou resolver a equação de primeira ordem
Essa é uma equação linear do tipo
com
e
. O método do fator integrante funciona assim: calcule o fator integrante
Multiplicamos a equação por
:
O lado esquerdo é a derivada do produto
, isto é,
Passo 4
Integrando ambos os lados em relação a
,
A integral do lado direito é simples:
, onde
é uma constante arbitrária. Assim
Multiplicando por
,
onde
é uma constante arbitrária (pode representá‑la por qualquer letra).
Passo 5
Voltando à função original, lembramos que
. Então
Agora integramos para obter
. A integral termo a termo é:
Isso dá
onde
é uma nova constante de integração. Podemos renomear constantes arbitrárias se quisermos, por exemplo
e
.
Passo 6
Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
Substituindo na equação original:
logo a solução encontrada satisfaz a equação. Observe também que temos duas constantes arbitrárias (
e
), como esperado para uma equação de segunda ordem.
Resposta
onde
e
são constantes reais arbitrárias.