Resolver as seguintes equações diferenciais:
y^{\prime \prime}-y^{\prime}-30=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial
y''-y'-30=0.
Ou seja, encontrar todas as funções y(x) que satisfazem essa igualdade para todo x. As informações dadas são: aparecem a derivada primeira y' e a derivada segunda y'', e há uma constante numérica -30. O objetivo é obter a solução geral y(x) (que normalmente terá duas constantes arbitrárias, porque temos uma equação de segunda ordem).

Passo 2

Uma maneira prática de simplificar é reduzir a ordem: defina uma nova função igual à derivada primeira. Seja
p(x)=y'(x).
Então a derivada de p é
p'(x)=y''(x).
Substituindo na equação dada, obtemos uma equação para p:
p'(x)-p(x)-30=0.
Reescrevendo,
p'(x)-p(x)=30.
Agora temos uma equação diferencial de primeira ordem para p(x).

Passo 3

Vou resolver a equação de primeira ordem
p'(x)-p(x)=30.
Essa é uma equação linear do tipo p'+a(x)p=b(x) com a(x)=-1 e b(x)=30. O método do fator integrante funciona assim: calcule o fator integrante
\mu(x)=e^{\int a(x)\,dx}=e^{\int -1\,dx}=e^{-x}.
Multiplicamos a equação por \mu(x):
e^{-x}p'(x)-e^{-x}p(x)=30e^{-x}.
O lado esquerdo é a derivada do produto p(x)e^{-x}, isto é,
\bigl(p(x)e^{-x}\bigr)'=30e^{-x}.

Passo 4

Integrando ambos os lados em relação a x,
p(x)e^{-x}=\int 30e^{-x}\,dx.
A integral do lado direito é simples: \int 30e^{-x}\,dx=-30e^{-x}+C, onde C é uma constante arbitrária. Assim
p(x)e^{-x}=-30e^{-x}+C.
Multiplicando por e^{x},
p(x)=-30+Ce^{x},
onde C é uma constante arbitrária (pode representá‑la por qualquer letra).

Passo 5

Voltando à função original, lembramos que p(x)=y'(x). Então
y'(x)=-30+Ce^{x}.
Agora integramos para obter y(x). A integral termo a termo é:
\int y'(x)\,dx = \int \bigl(-30+Ce^{x}\bigr)\,dx.
Isso dá
y(x)=-30x+Ce^{x}+D,
onde D é uma nova constante de integração. Podemos renomear constantes arbitrárias se quisermos, por exemplo A=C e B=D.

Passo 6

Verificação rápida (para ganhar confiança): calcule
y'(x)=Ae^{x}-30,\qquad y''(x)=Ae^{x}.
Substituindo na equação original:
y''-y'-30 = Ae^{x} - (Ae^{x}-30) -30 = 0,
logo a solução encontrada satisfaz a equação. Observe também que temos duas constantes arbitrárias ( A e B), como esperado para uma equação de segunda ordem.

Resposta

y(x)=Ae^{x}-30x+B
onde A e B são constantes reais arbitrárias.

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