Questão 18. Seja
c_{n}=\frac{(-1)^{n} \cdot n!}{1.3 .5 \ldots(2 n-1)}
Prove que
\lim _{n \rightarrow \infty} c_{n}=0

Passo 1

O enunciado dá a sequência
c_{n}=\frac{(-1)^{n}\cdot n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}
e pede para provar que
\lim_{n\to\infty} c_{n}=0.
Informações relevantes que temos: a sequência tem um fator alternante ( -1 )^{n}, um fatorial n! no numerador e o produto de todos os ímpares até (2n-1) no denominador. A tarefa é mostrar que os termos tendem a zero quando n cresce sem limite.

Passo 2

Primeira observação útil (para simplificar a prova): se conseguirmos mostrar que os módulos dos termos vão para zero, isto é,
\lim_{n\to\infty} |c_n| = 0,
então necessariamente \lim_{n\to\infty} c_n = 0, porque |c_n|\to 0 implica c_n\to 0. Portanto vou trabalhar com |c_n|. Escrevendo o módulo:
|c_n|=\frac{n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}.
Explicar isso: o sinal alternante ( -1 )^{n} só afeta o sinal, não o tamanho; então é seguro estudar |c_n|.

Passo 3

Uma ideia eficiente é olhar a razão entre termos consecutivos (isso costuma funcionar bem para sequências definidas por produtos ou fatoriais). Vou calcular
\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}
passo a passo.
Começo escrevendo |c_{n+1}| e |c_n|:
|c_{n+1}|=\frac{(n+1)!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}, \qquad |c_n|=\frac{n!}{1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)}.
Dividindo, muitos fatores cancelam:
\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|} = \frac{(n+1)!}{1\cdot 3\cdot\cdots(2n-1)\cdot(2n+1)}\cdot \frac{1\cdot 3\cdot\cdots(2n-1)}{n!}.
Cancelando o produto de ímpares comum e usando (n+1)!=(n+1)\cdot n!, obtemos
\frac{|c_{n+1}|}{|c_n|}=\frac{n+1}{2n+1}.

Passo 4

Agora analiso o comportamento dessa razão quando n\to\infty. Calculo o limite
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}.
Para ver esse limite, divido numerador e denominador por n:
\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1+\tfrac{1}{n}}{2+\tfrac{1}{n}},
e ao fazer n\to\infty obtemos
\lim_{n\to\infty}\frac{n+1}{2n+1}=\frac{1+0}{2+0}=\frac{1}{2}.
Portanto a razão entre termos consecutivos tende para 1/2, que é um número menor que 1.

Passo 5

Vou usar uma propriedade simples e útil: se uma sequência não-negativa (a_n) satisfaz
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=L
com L<1, então a_n\to 0. Explico por que isso é verdade de forma construtiva (para você poder usar na prova):
Escolha um número r tal que L<r<1. Como \frac{a_{n+1}}{a_n}\to L, existe N tal que para todo n\ge N temos \frac{a_{n+1}}{a_n}\le r. Assim, para n\ge N,
a_{N+1}\le r a_N,\quad a_{N+2}\le r a_{N+1}\le r^2 a_N,\quad\ldots,\quad a_{N+k}\le r^k a_N.
Como 0<r<1, r^k\to 0 quando k\to\infty. Logo a_{N+k}\to 0, e assim toda a sequência a_n\to 0. Portanto a condição lim razão <1 implica decaimento exponencial (a princípio a partir de algum índice) e convergência a zero.

Passo 6

Aplicando o argumento do passo anterior à nossa sequência de módulos a_n:=|c_n|, já calculamos que
\lim_{n\to\infty}\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{1}{2}<1.
Pelo resultado do passo 5 segue que
\lim_{n\to\infty} |c_n| = 0.
E como observei no passo 2, isso implica imediatamente
\lim_{n\to\infty} c_n = 0.

Passo 7

(pequeno comentário extra para intuir a rapidez do decaimento) Podemos também reescrever |c_n| usando o fato de que
1\cdot 3\cdot 5\cdots(2n-1)=\frac{(2n)!}{2^{n}\,n!},
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|c_n|=\frac{n!}{1\cdot 3\cdot\cdots(2n-1)}=\frac{2^{n}(n!)^{2}}{(2n)!}=\frac{2^{n}}{\binom{2n}{n}}.
Como o coeficiente binomial central \binom{2n}{n} cresce aproximadamente como 4^{n}/\sqrt{\pi n}, isso mostra que |c_n| cai aproximadamente como \sqrt{n}\,(1/2)^{n}, ou seja, cai exponencialmente. Não é necessário para provar o limite, mas dá intuição de que a convergência a zero é bem rápida.

Resposta

0

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