Questão 18. Seja
Prove que
Passo 1
O enunciado dá a sequência
e pede para provar que
Informações relevantes que temos: a sequência tem um fator alternante
, um fatorial
no numerador e o produto de todos os ímpares até
no denominador. A tarefa é mostrar que os termos tendem a zero quando
cresce sem limite.
Passo 2
Primeira observação útil (para simplificar a prova): se conseguirmos mostrar que os módulos dos termos vão para zero, isto é,
então necessariamente
, porque
implica
. Portanto vou trabalhar com
. Escrevendo o módulo:
Explicar isso: o sinal alternante
só afeta o sinal, não o tamanho; então é seguro estudar
.
Passo 3
Uma ideia eficiente é olhar a razão entre termos consecutivos (isso costuma funcionar bem para sequências definidas por produtos ou fatoriais). Vou calcular
passo a passo.
Começo escrevendo
e
:
Dividindo, muitos fatores cancelam:
Cancelando o produto de ímpares comum e usando
, obtemos
Passo 4
Agora analiso o comportamento dessa razão quando
. Calculo o limite
Para ver esse limite, divido numerador e denominador por
:
e ao fazer
obtemos
Portanto a razão entre termos consecutivos tende para
, que é um número menor que
.
Passo 5
Vou usar uma propriedade simples e útil: se uma sequência não-negativa
satisfaz
com
, então
. Explico por que isso é verdade de forma construtiva (para você poder usar na prova):
Escolha um número
tal que
. Como
, existe
tal que para todo
temos
. Assim, para
,
Como
,
quando
. Logo
, e assim toda a sequência
. Portanto a condição lim razão
implica decaimento exponencial (a princípio a partir de algum índice) e convergência a zero.
Passo 6
Aplicando o argumento do passo anterior à nossa sequência de módulos
, já calculamos que
Pelo resultado do passo 5 segue que
E como observei no passo 2, isso implica imediatamente
Passo 7
(pequeno comentário extra para intuir a rapidez do decaimento) Podemos também reescrever
usando o fato de que
logo
Como o coeficiente binomial central
cresce aproximadamente como
, isso mostra que
cai aproximadamente como
, ou seja, cai exponencialmente. Não é necessário para provar o limite, mas dá intuição de que a convergência a zero é bem rápida.