Resolver as seguintes integrais:
int \frac{2 x+1}{(x-1) \cdot(x+1)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}\,dx.
Esse é um caso de integral de fração racional própria. Vamos usar decomposição em frações parciais.

Passo 2

Suponha que
\frac{2x+1}{(x-1)(x+1)} = \frac{A}{x-1} + \frac{B}{x+1}.
Multiplicando ambos os lados por (x-1)(x+1), obtemos
2x+1 = A(x+1) + B(x-1).

Passo 3

Expandindo e agrupando termos:
A(x+1) + B(x-1) = (A+B)\,x + (A - B).
Igualando coeficientes de x e termo constante, temos o sistema
A + B = 2,
A - B = 1.
Daí vem A = \tfrac32 e B = \tfrac12.

Passo 4

Substituindo na integral:
\int \frac{2x+1}{(x-1)(x+1)}\,dx = \frac32 \int \frac{1}{x-1}\,dx + \frac12 \int \frac{1}{x+1}\,dx.
Cada termo é um logaritmo, logo
\frac32 \ln\bigl|x-1\bigr| + \frac12 \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

Passo 5

Se preferir combinar os logaritmos:
\frac12 \ln\Bigl|(x-1)^3(x+1)\Bigr| + C.

Resposta

\frac32 \ln\bigl|x-1\bigr| + \frac12 \ln\bigl|x+1\bigr| + C.

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