Decompor as seguintes expressões como somas de frações parciais:
\frac{2 x+3}{(x-2)^{2} \cdot\left(2 x^{2}+4 x+19\right)}

Passo 1

O enunciado pede para decompor em frações parciais a função
\frac{2x+3}{(x-2)^{2}\,\bigl(2x^{2}+4x+19\bigr)}.
O conteúdo é decomposição em frações parciais com fator quadrático irreduzível e fator linear de multiplicidade 2. Precisamos lembrar que, para cada fator linear (x-a) de ordem k usamos termos \tfrac{A_1}{x-a}+\cdots+\tfrac{A_k}{(x-a)^k}, e para cada quadrático irreduzível usamos \tfrac{Cx+D}{\text{quadrático}}á.

Passo 2

Escrevemos a forma geral da decomposição:
\frac{2x+3}{(x-2)^{2}\,(2x^{2}+4x+19)} =\frac{A}{x-2}+\frac{B}{(x-2)^{2}}+\frac{Cx+D}{2x^{2}+4x+19}.

Passo 3

Multiplicamos ambos os lados por (x-2)^{2}(2x^{2}+4x+19) e expandimos cada termo:
2x+3 = A\,(x-2)\,(2x^{2}+4x+19) + B\,(2x^{2}+4x+19) + (Cx+D)\,(x-2)^{2}.
Calculando separadamente:
  1. (x-2)(2x^{2}+4x+19)=2x^{3}+11x-38,
  2. B-parte =2B\,x^{2}+4B\,x+19B,
  3. (Cx+D)(x-2)^{2}=C\,x^{3}+(-4C+D)\,x^{2}+(4C-4D)\,x+4D.

Passo 4

Somando os coeficientes em potências de x e igualando a 2x+3 (ou seja, coeficientes de x^3,x^2 dão zero), obtemos o sistema:
\begin{cases} 2A + C = 0,\\\\ 2B - 4C + D = 0,\\\\ 11A + 4B + 4C - 4D = 2,\\\\ -38A + 19B + 4D = 3. \end{cases}

Passo 5

Resolvendo o sistema:
2A + C =0 \implies C=-2A.
2B -4(-2A)+D =0 \implies D=-2B-8A.
Substituindo em
11A+4B+4C-4D=2 \quad\text{e}\quad -38A+19B+4D=3
vem \;35A+12B=2 e -70A+11B=3.
Desse modo
B=\tfrac{1}{5},\quad A=-\tfrac{2}{175},\quad C=-2A=\tfrac{4}{175},\quad D=-2B-8A=-\tfrac{54}{175}.

Passo 6

Substituindo na forma geral, temos
\frac{2x+3}{(x-2)^{2}(2x^{2}+4x+19)} =-\frac{2/175}{x-2} +\frac{1/5}{(x-2)^{2}} +\frac{\tfrac{4}{175}\,x-\tfrac{54}{175}}{2x^{2}+4x+19}.

Resposta

\frac{2x+3}{(x-2)^{2}(2x^{2}+4x+19)} =-\frac{2}{175}\,\frac{1}{x-2} +\frac{1}{5}\,\frac{1}{(x-2)^{2}} +\frac{4x-54}{175\,(2x^{2}+4x+19)}.

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