Resolver as seguintes integrais:
int \frac{6 x^{2}+20 x+18}{(x+1)^{2} \cdot(x+3)} d x

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral
\int \frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)}\,dx.
O conteúdo principal aqui é decomposição em frações parciais de uma função racional. Vamos escrever a função como soma de termos mais simples.

Passo 2

Assumimos a decomposição
\frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)} = \frac{A}{x+1} + \frac{B}{(x+1)^{2}} + \frac{C}{x+3}.
Multiplicando por (x+1)^{2}(x+3), obtemos a identidade polinomial
6x^{2}+20x+18 = A(x+1)(x+3) + B(x+3) + C(x+1)^{2}.

Passo 3

Para achar A, B e C usamos valores convenientes de x:
Em x=-1:
6\cdot(-1)^{2}+20(-1)+18 = B\cdot(-1+3) \;\Longrightarrow\;6-20+18 = 2B \;\Longrightarrow\;B=2.
Em x=-3:
6\cdot9 + 20(-3) + 18 = C\cdot(-3+1)^{2} \;\Longrightarrow\;54-60+18 = 4C \;\Longrightarrow\;C=3.
Em x=0:
18 = A\cdot1\cdot3 + B\cdot3 + C\cdot1 \;\Longrightarrow\;18 = 3A + 3\cdot2 + 3 \;\Longrightarrow\;3A = 9 \;\Longrightarrow\;A=3.

Passo 4

Substituindo na integral, temos
\int \frac{6x^{2}+20x+18}{(x+1)^{2}(x+3)}\,dx = \int\Bigl(\frac{3}{x+1} + \frac{2}{(x+1)^{2}} + \frac{3}{x+3}\Bigr)\,dx.

Passo 5

Integramos termo a termo: \displaystyle \int \frac{3}{x+1}\,dx = 3\ln\lvert x+1\rvert, \displaystyle \int \frac{2}{(x+1)^{2}}\,dx = 2\int (x+1)^{-2}dx = -\frac{2}{x+1}, \displaystyle \int \frac{3}{x+3}\,dx = 3\ln\lvert x+3\rvert.
Somando, a primitiva geral é
3\ln\lvert x+1\rvert - \frac{2}{x+1} + 3\ln\lvert x+3\rvert + C.

Resposta

3\ln\lvert x+1\rvert + 3\ln\lvert x+3\rvert - \frac{2}{x+1} + C

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