Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \ln ^{3} 2 x dx
\int \ln ^{3} 2 x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações relevantes: a função
significa
. O logaritmo natural
está definido para
, ou seja, para
. Queremos uma primitiva (ou seja, o antiderivado) dessa função, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
onde
e
são funções escolhidas de modo que
e
fiquem mais simples.
Escolha natural aqui: tomar
e
. Isso porque derivar potências de
reduz a potência e simplifica o integrando; tomar
mantém
simples. Agora calculamos
e
.
Calcule
:
Calcule
. Usamos a regra da cadeia: se
e
, então
. Sabendo que
(porque
), temos
Agora aplicamos integração por partes:
O
no numerador e no denominador cancela:
Passo 3
Restou calcular
. Repetimos integração por partes com a mesma ideia: tome
e
. Então
e, pela regra da cadeia,
Aplicando partes:
Passo 4
Agora falta
. Fazemos partes mais uma vez com
e
. Então
e
. Pela fórmula:
Logo
(Não colocamos constantes em cada etapa; só uma constante final basta.)
Passo 5
Substituímos esse resultado em
. Usando a expressão encontrada:
Distribuindo:
Agora voltamos para a expressão de
obtida no Passo 2:
Substituindo a integral de potência 2:
Distribuindo o
:
Fatorando
(opcional, para ficar mais limpo):
Passo 6
Rápida verificação (útil na prova): derivando a resposta
usando a regra do produto e regra da cadeia você recupera
. Isso confirma que encontramos uma primitiva correta (a verificação exige cuidado algébrico, mas é direta).