Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \ln ^{3} 2 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int \ln^{3}(2x)\,dx.
Informações relevantes: a função \ln^{3}(2x) significa \big(\ln(2x)\big)^{3}. O logaritmo natural \ln(2x) está definido para 2x>0, ou seja, para x>0. Queremos uma primitiva (ou seja, o antiderivado) dessa função, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u e dv são funções escolhidas de modo que du e v fiquem mais simples.
Escolha natural aqui: tomar u=\ln^{3}(2x) e dv=dx. Isso porque derivar potências de \ln reduz a potência e simplifica o integrando; tomar dv=dx mantém v simples. Agora calculamos du e v.
Calcule v:
v=\int dv=\int dx=x.
Calcule du. Usamos a regra da cadeia: se f(t)=t^{3} e t=\ln(2x), então d(f\circ t)/dx = 3 t^{2}\cdot dt/dx. Sabendo que d(\ln(2x))/dx = 1/x (porque d(\ln(2x))/dx = \frac{1}{2x}\cdot 2 = 1/x), temos
du = 3\ln^{2}(2x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{3\ln^{2}(2x)}{x}\,dx.
Agora aplicamos integração por partes:
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\ln^{3}(2x) - \int x\cdot \frac{3\ln^{2}(2x)}{x}\,dx.
O x no numerador e no denominador cancela:
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\ln^{3}(2x) - 3\int \ln^{2}(2x)\,dx.

Passo 3

Restou calcular \int \ln^{2}(2x)\,dx. Repetimos integração por partes com a mesma ideia: tome u=\ln^{2}(2x) e dv=dx. Então v=x e, pela regra da cadeia,
du = 2\ln(2x)\cdot\frac{1}{x}\,dx = \frac{2\ln(2x)}{x}\,dx.
Aplicando partes:
\int \ln^{2}(2x)\,dx = x\ln^{2}(2x) - \int x\cdot \frac{2\ln(2x)}{x}\,dx = x\ln^{2}(2x) - 2\int \ln(2x)\,dx.

Passo 4

Agora falta \int \ln(2x)\,dx. Fazemos partes mais uma vez com u=\ln(2x) e dv=dx. Então v=x e du=\frac{1}{x}\,dx. Pela fórmula:
\int \ln(2x)\,dx = x\ln(2x) - \int x\cdot\frac{1}{x}\,dx = x\ln(2x) - \int 1\,dx.
Logo
\int \ln(2x)\,dx = x\ln(2x) - x + C.
(Não colocamos constantes em cada etapa; só uma constante final basta.)

Passo 5

Substituímos esse resultado em \int \ln^{2}(2x)\,dx. Usando a expressão encontrada:
\int \ln^{2}(2x)\,dx = x\ln^{2}(2x) - 2\big(x\ln(2x) - x\big) + C.
Distribuindo:
\int \ln^{2}(2x)\,dx = x\ln^{2}(2x) - 2x\ln(2x) + 2x + C.
Agora voltamos para a expressão de \int \ln^{3}(2x)\,dx obtida no Passo 2:
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\ln^{3}(2x) - 3\int \ln^{2}(2x)\,dx.
Substituindo a integral de potência 2:
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\ln^{3}(2x) - 3\big(x\ln^{2}(2x) - 2x\ln(2x) + 2x\big) + C.
Distribuindo o -3:
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\ln^{3}(2x) - 3x\ln^{2}(2x) + 6x\ln(2x) - 6x + C.
Fatorando x (opcional, para ficar mais limpo):
\int \ln^{3}(2x)\,dx = x\big(\ln^{3}(2x) - 3\ln^{2}(2x) + 6\ln(2x) - 6\big) + C.

Passo 6

Rápida verificação (útil na prova): derivando a resposta F(x)=x(\ln^{3}(2x)-3\ln^{2}(2x)+6\ln(2x)-6) usando a regra do produto e regra da cadeia você recupera \ln^{3}(2x). Isso confirma que encontramos uma primitiva correta (a verificação exige cuidado algébrico, mas é direta).

Resposta

x\big(\ln^{3}(2x) - 3\ln^{2}(2x) + 6\ln(2x) - 6\big) + C

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