Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{3} \operatorname{sen} 4 x dx
\int x^{3} \operatorname{sen} 4 x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio
e uma função trigonométrica
. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função
tal que
. Não há mais condições (é indefinida), portanto a resposta deve incluir a constante de integração
.
Passo 2
Apresentando a técnica que vamos usar: integração por partes. A fórmula é
onde
é uma função cujo diferencial é
, e
é outra parte do integrando cujo primitivo é
. Intuição prática: escolhemos
como a parte que fica mais simples ao derivar (polinômios, por exemplo) e
como a parte que sabemos integrar facilmente (aqui
). Isso reduz o grau do polinômio e, repetindo o processo, chegamos a uma integral fácil. Vamos aplicar.
Escolhemho a primeira vez:
Derivando e integrando:
pois a primitiva de
é
. Agora use a fórmula:
Simplificando o sinal e coeficientes:
Passo 3
Agora precisamos calcular
. Repetimos integração por partes, escolhendo novamente o polinômio como
:
Então
porque a primitiva de
é
. Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Passo 4
Volto à expressão do Passo 2 e substituo o resultado do Passo 3:
Multiplicando os coeficientes:
Resta calcular
.
Passo 5
Calcule
por partes mais uma vez:
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
E como
, obtemos:
Passo 6
Substituo esse resultado em (Passo 4):
Distribuindo
:
onde coloquei a constante de integração
. Para checar rapidamente: derivando essa expressão recupera
(os termos intermediários se cancelam), então está correta.