Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{3} \operatorname{sen} 4 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx.
Informações dadas: integrando é o produto de um polinômio x^{3} e uma função trigonométrica \operatorname{sen}4x. A tarefa é encontrar uma primitiva (antiderivada) dessa função, ou seja, uma função F(x) tal que F'(x)=x^{3}\operatorname{sen}4x. Não há mais condições (é indefinida), portanto a resposta deve incluir a constante de integração C.

Passo 2

Apresentando a técnica que vamos usar: integração por partes. A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde u=u(x) é uma função cujo diferencial é du, e dv é outra parte do integrando cujo primitivo é v. Intuição prática: escolhemos u como a parte que fica mais simples ao derivar (polinômios, por exemplo) e dv como a parte que sabemos integrar facilmente (aqui \operatorname{sen}4x). Isso reduz o grau do polinômio e, repetindo o processo, chegamos a uma integral fácil. Vamos aplicar.
Escolhemho a primeira vez:
u = x^{3},\qquad dv = \operatorname{sen}4x\,dx.
Derivando e integrando:
du = 3x^{2}\,dx,\qquad v = \int \operatorname{sen}4x\,dx = -\frac{1}{4}\cos4x,
pois a primitiva de \operatorname{sen}kx é -\frac{1}{k}\cos kx. Agora use a fórmula:
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = uv - \int v\,du = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x - \int \Big(-\tfrac{1}{4}\cos4x\Big)\cdot 3x^{2}\,dx.
Simplificando o sinal e coeficientes:
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x + \tfrac{3}{4}\int x^{2}\cos4x\,dx.

Passo 3

Agora precisamos calcular \int x^{2}\cos4x\,dx. Repetimos integração por partes, escolhendo novamente o polinômio como u:
u = x^{2},\qquad dv = \cos4x\,dx.
Então
du = 2x\,dx,\qquad v = \int \cos4x\,dx = \tfrac{1}{4}\sin4x,
porque a primitiva de \cos kx é \tfrac{1}{k}\sin kx. Aplicando a fórmula:
\int x^{2}\cos4x\,dx = uv - \int v\,du = \tfrac{1}{4}x^{2}\sin4x - \int \tfrac{1}{4}\sin4x\cdot 2x\,dx.
Simplificando:
\int x^{2}\cos4x\,dx = \tfrac{1}{4}x^{2}\sin4x - \tfrac{1}{2}\int x\sin4x\,dx.

Passo 4

Volto à expressão do Passo 2 e substituo o resultado do Passo 3:
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x + \tfrac{3}{4}\Big(\tfrac{1}{4}x^{2}\sin4x - \tfrac{1}{2}\int x\sin4x\,dx\Big).
Multiplicando os coeficientes:
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x + \tfrac{3}{16}x^{2}\sin4x - \tfrac{3}{8}\int x\sin4x\,dx.
Resta calcular \int x\sin4x\,dx.

Passo 5

Calcule \int x\sin4x\,dx por partes mais uma vez:
u = x,\qquad dv = \sin4x\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \sin4x\,dx = -\tfrac{1}{4}\cos4x.
Aplicando a fórmula:
\int x\sin4x\,dx = uv - \int v\,du = -\tfrac{1}{4}x\cos4x - \int \Big(-\tfrac{1}{4}\cos4x\Big)\,dx.
Simplificando:
\int x\sin4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x\cos4x + \tfrac{1}{4}\int \cos4x\,dx.
E como \int \cos4x\,dx = \tfrac{1}{4}\sin4x, obtemos:
\int x\sin4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x\cos4x + \tfrac{1}{16}\sin4x.

Passo 6

Substituo esse resultado em (Passo 4):
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x + \tfrac{3}{16}x^{2}\sin4x - \tfrac{3}{8}\Big(-\tfrac{1}{4}x\cos4x + \tfrac{1}{16}\sin4x\Big).
Distribuindo -\tfrac{3}{8}:
\int x^{3}\operatorname{sen}4x\,dx = -\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x + \tfrac{3}{16}x^{2}\sin4x + \tfrac{3}{32}x\cos4x - \tfrac{3}{128}\sin4x + C,
onde coloquei a constante de integração C. Para checar rapidamente: derivando essa expressão recupera x^{3}\operatorname{sen}4x (os termos intermediários se cancelam), então está correta.

Resposta

-\tfrac{1}{4}x^{3}\cos4x+\tfrac{3}{16}x^{2}\sin4x+\tfrac{3}{32}x\cos4x-\tfrac{3}{128}\sin4x+C

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