Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{arc} \cos x d x

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a primitiva (uma antiderivada) da função \operatorname{arccos} x, ou seja resolver a integral
\int \operatorname{arccos} x \, dx.
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
\operatorname{arccos} x é a função arco-cosseno definida para -1 < x < 1 (podemos trabalhar nesse intervalo onde a derivada existe) e queremos uma expressão F(x) tal que F'(x)=\operatorname{arccos} x. Nada mais é pedido além da primitiva geral (com constante de integração).

Passo 2

Ferramenta que vamos usar (aqui eu te explico a fórmula passo a passo): a integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(u(x)v(x)\big)=u'(x)v(x)+u(x)v'(x).
Integrando ambos os lados em x obtemos
\int \frac{d}{dx}\big(u v\big)\,dx=\int u'v\,dx+\int uv'\,dx.
Como a integral da derivada é uv, reorganizando:
\int u\,dv = uv - \int v\,du,
onde escrevemos du = u'(x)\,dx e dv = v'(x)\,dx. Essa é a fórmula de integração por partes que vamos aplicar. Aqui u é a parte que vamos derivar (produz uma expressão mais simples) e dv é a parte que vamos integrar facilmente.

Passo 3

Escolha das partes (explicando por que): escolhemos
u=\operatorname{arccos} x,\qquad dv=dx.
Motivo: a função inversa trigonométrica fica mais simples quando derivada (aparece uma expressão racional em \sqrt{1-x^2}), enquanto dx é trivial de integrar. Essa é a escolha padrão para integrais do tipo \int (\text{função inversa})\,dxçã.

Passo 4

Calcular du e v.
Primeiro v=\int dv=\int dx=x.
Agora du é a derivada de \operatorname{arccos} x vezes dx. Para lembrar a derivada de \operatorname{arccos} x, faço um mini-derivação por diferenciação implícita: seja y=\operatorname{arccos} x. Então \cos y = x. Diferenciando em relação a x:
-\sin y\cdot \frac{dy}{dx}=1 \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dx}=-\frac{1}{\sin y}.
Como \cos y = x, temos \sin y = \sqrt{1-\cos^2 y}=\sqrt{1-x^2} (a raiz positiva porque y=\operatorname{arccos} x\in[0,\pi] tem \sin y\ge0). Logo
\frac{d}{dx}\big(\operatorname{arccos} x\big)=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}.
Portanto
du = -\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 5

Aplicar a fórmula de integração por partes \int u\,dv = uv - \int v\,du. Substituindo:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \int x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)dx.
Simplificando o sinal:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x + \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.
Agora resta calcular \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx.

Passo 6

Calcular \displaystyle \int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx por substituição. Seja
w=1-x^2.
Então
dw = -2x\,dx \quad\Rightarrow\quad x\,dx = -\frac{1}{2}\,dw.
Substituindo na integral:
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = \int \frac{x}{\sqrt{w}}\cdot\left(-\frac{1}{2}\,dw\right) = -\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw.
Integrando a potência:
-\frac{1}{2}\int w^{-1/2}\,dw = -\frac{1}{2}\cdot\frac{w^{1/2}}{1/2} + C = -w^{1/2}+C.
Voltando à variável x (pois w=1-x^2):
\int \frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\,dx = -\sqrt{1-x^2}+C.

Passo 7

Voltar à expressão obtida no Passo 5 e juntar resultados:
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x + \Big(-\sqrt{1-x^2}\Big) + C.
Ou seja
\int \operatorname{arccos} x\,dx = x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C.

Passo 8

Verificação rápida (para você ganhar confiança): derivando a resposta encontramos
\frac{d}{dx}\big(x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2}\big) = \operatorname{arccos} x + x\left(-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right) -\left(-\frac{x}{\sqrt{1-x^2}}\right) = \operatorname{arccos} x,
pois os termos com \frac{x}{\sqrt{1-x^2}} se cancelam. Logo a primitiva está correta.

Resposta

x\operatorname{arccos} x - \sqrt{1-x^2} + C

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