Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int \operatorname{arc} \cos x d x
\int \operatorname{arc} \cos x d x
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a primitiva (uma antiderivada) da função
, ou seja resolver a integral
Informações relevantes dadas (explícitas ou implícitas):
é a função arco-cosseno definida para
(podemos trabalhar nesse intervalo onde a derivada existe) e queremos uma expressão
tal que
. Nada mais é pedido além da primitiva geral (com constante de integração).
Passo 2
Ferramenta que vamos usar (aqui eu te explico a fórmula passo a passo): a integração por partes. Ela vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
Integrando ambos os lados em
obtemos
Como a integral da derivada é
, reorganizando:
onde escrevemos
e
. Essa é a fórmula de integração por partes que vamos aplicar. Aqui
é a parte que vamos derivar (produz uma expressão mais simples) e
é a parte que vamos integrar facilmente.
Passo 3
Escolha das partes (explicando por que): escolhemos
Motivo: a função inversa trigonométrica fica mais simples quando derivada (aparece uma expressão racional em
), enquanto
é trivial de integrar. Essa é a escolha padrão para integrais do tipo
.
Passo 4
Calcular
e
.
Primeiro
Agora é a derivada de
vezes
. Para lembrar a derivada de
, faço um mini-derivação por diferenciação implícita: seja
. Então
. Diferenciando em relação a
:
Primeiro
Agora
Como
, temos
(a raiz positiva porque
tem
). Logo
Portanto
Passo 5
Aplicar a fórmula de integração por partes
. Substituindo:
Simplificando o sinal:
Agora resta calcular
.
Passo 6
Calcular
por substituição. Seja
Então
Substituindo na integral:
Integrando a potência:
Voltando à variável
(pois
):
Passo 7
Voltar à expressão obtida no Passo 5 e juntar resultados:
Ou seja
Passo 8
Verificação rápida (para você ganhar confiança): derivando a resposta encontramos
pois os termos com
se cancelam. Logo a primitiva está correta.