\int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x} d x.
Passo 1
O que o enunciado pede: calcular a antiderivada (primitiva) da função
ou seja encontrar
.
Informações dadas e observações imediatas:
Pergunta: encontrar uma função
tal que
, mais uma constante de integração
.
Passo 2
Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas): a presença de
sugere fazer uma substituição envolvendo
, porque a derivada de
é
, e isso costuma simplificar fatores de potências de
. Vamos testar a substituição
Calculemos
. Derivando em relação a
:
Isolando
obtemos
Como vamos substituir totalmente em termos de
, escrevemos
em função de
: de
segue
. Então
Agora substituímos tudo na integral original:
Substituindo
(porque
e
):
Portanto a integral foi transformada em uma integral mais simples:
Passo 3
Resolver
. Aqui aplicamos integração por partes (é a técnica padrão para produto de polinômio por exponencial). Lembrete da fórmula de integração por partes: se escolhermos funções
e
tal que a integral original é
, então
onde
é uma primitiva de
e
.
No nosso caso, para
escolhemos
Aplicando a fórmula:
Logo, incluindo o sinal negativo que tínhamos:
Passo 4
Voltar à variável original
substituindo
:
Passo 5
Verificação rápida (útil para a prova): calcule a derivada de
e confirme que retorna o integrando. Usamos regra do produto e regra da cadeia.
Primeiro, escrevemos .
Derivando:
Primeiro, escrevemos
Derivando:
Calculando cada derivada:
Substituindo:
A derivada deu exatamente o integrando, portanto a primitiva está correta.