\int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x} d x.

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular a antiderivada (primitiva) da função
\frac{1}{x^{3}} e^{1 / x}
ou seja encontrar \int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x}\,dx.
Informações dadas e observações imediatas:
\text{integrando} = \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x},\qquad x\neq 0 \\ (\text{o integrando não está definido em } x=0).ãá
Pergunta: encontrar uma função F(x) tal que F'(x)=\dfrac{1}{x^{3}} e^{1/x}, mais uma constante de integração C.

Passo 2

Escolha do método (explicação didática, sem pular etapas): a presença de e^{1/x} sugere fazer uma substituição envolvendo 1/x, porque a derivada de 1/x é -1/x^{2}, e isso costuma simplificar fatores de potências de x. Vamos testar a substituição
u=\frac{1}{x}.
Calculemos du. Derivando em relação a x:
du = -\frac{1}{x^{2}}\,dx.
Isolando dx obtemos
dx = -x^{2}\,du.
Como vamos substituir totalmente em termos de u, escrevemos x em função de u: de u=1/x segue x=\dfrac{1}{u}. Então
x^{2}=\frac{1}{u^{2}}\quad\text{e}\quad x^{-3}=\left(\frac{1}{x}\right)^{3}=u^{3}.
Agora substituímos tudo na integral original:
\int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x}\,dx = \int x^{-3} e^{u}\,dx = \int u^{3} e^{u}\,dx.
Substituindo dx=-\dfrac{1}{u^{2}}\,du (porque dx=-x^{2}\,du e x^{2}=1/u^{2}):
\int u^{3} e^{u}\left(-\frac{1}{u^{2}}\,du\right) = -\int u e^{u}\,du.
Portanto a integral foi transformada em uma integral mais simples:
\int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x}\,dx = -\int u e^{u}\,du.

Passo 3

Resolver -\int u e^{u}\,du. Aqui aplicamos integração por partes (é a técnica padrão para produto de polinômio por exponencial). Lembrete da fórmula de integração por partes: se escolhermos funções v e w' tal que a integral original é \int v\,w'\,du, então
\int v\,w'\,du = v\,w - \int w\,v'\,du,
onde w é uma primitiva de w' e v'=\dfrac{dv}{du}.
No nosso caso, para \int u e^{u}\,du escolhemos
v = u \quad\Rightarrow\quad v' = 1,
w' = e^{u} \quad\Rightarrow\quad w = e^{u}.
Aplicando a fórmula:
\int u e^{u}\,du = u e^{u} - \int e^{u}\cdot 1\,du = u e^{u} - e^{u} + C.
Logo, incluindo o sinal negativo que tínhamos:
-\int u e^{u}\,du = -\bigl(u e^{u} - e^{u}\bigr) + C = e^{u}(1-u) + C.

Passo 4

Voltar à variável original x substituindo u=\dfrac{1}{x}:
\int \frac{1}{x^{3}} e^{1 / x}\,dx = e^{u}(1-u) + C = e^{1/x}\left(1-\frac{1}{x}\right) + C.

Passo 5

Verificação rápida (útil para a prova): calcule a derivada de F(x)=e^{1/x}\left(1-\dfrac{1}{x}\right) e confirme que retorna o integrando. Usamos regra do produto e regra da cadeia.
Primeiro, escrevemos F(x)=\bigl(1-\tfrac{1}{x}\bigr)\,e^{1/x}.
Derivando:
F'(x) = \left(\frac{d}{dx}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)\right)e^{1/x} + \Big(1-\frac{1}{x}\Big)\frac{d}{dx}\big(e^{1/x}\big).
Calculando cada derivada:
\frac{d}{dx}\Big(1-\frac{1}{x}\Big)=\frac{1}{x^{2}},
\frac{d}{dx}\big(e^{1/x}\big)=e^{1/x}\cdot\left(-\frac{1}{x^{2}}\right) = -\frac{e^{1/x}}{x^{2}}.
Substituindo:
F'(x)=\frac{e^{1/x}}{x^{2}} + \Big(1-\frac{1}{x}\Big)\left(-\frac{e^{1/x}}{x^{2}}\right) = \frac{e^{1/x}}{x^{2}} -\frac{e^{1/x}}{x^{2}} + \frac{e^{1/x}}{x^{3}} = \frac{e^{1/x}}{x^{3}}.
A derivada deu exatamente o integrando, portanto a primitiva está correta.

Resposta

e^{1/x}\left(1-\frac{1}{x}\right)+C

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