Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int e^{3 x} \cos 4 x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral indefinida
\int e^{3x}\cos 4x\,dx.
Informações dadas:
\text{Integrando: } e^{3x}\cos 4x,\qquad \text{variável de integração: } x.áçã
Objetivo: encontrar uma primitiva (uma expressão que, ao ser derivada, retorna e^{3x}\cos 4x), incluindo a constante de integração C.

Passo 2

Vou usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, vamos lembrar da fórmula e do raciocínio por trás dela.
A fórmula de integração por partes é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida que ficará mais simples ao derivar (produz du);
  • dv é o resto do integrando, que sabemos integrar para obter v (onde v satisfaz dv = v'\,dx).
A ideia é dividir o integrando em duas partes de modo que a nova integral \int v\,du seja mais simples que a original. Às vezes isso cria outra integral do mesmo tipo que podemos eliminar algebricamente.

Passo 3

Escolhendo as partes do integrando. Uma escolha natural aqui é
u = e^{3x},\qquad dv = \cos 4x\,dx,
porque conseguimos derivar u facilmente e integrar \cos 4x facilmente.
Calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(e^{3x})\,dx = 3e^{3x}\,dx,
v = \int \cos 4x\,dx = \frac{1}{4}\sin 4x.
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
\int e^{3x}\cos 4x\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo:
\int e^{3x}\cos 4x\,dx = e^{3x}\cdot\frac{1}{4}\sin 4x - \int \frac{1}{4}\sin 4x\cdot 3e^{3x}\,dx.
Simplificando constantes:
\int e^{3x}\cos 4x\,dx = \frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x - \frac{3}{4}\int e^{3x}\sin 4x\,dx.
Para organizar, defina
I=\int e^{3x}\cos 4x\,dx.
Então temos
I=\frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x - \frac{3}{4}\int e^{3x}\sin 4x\,dx.

Passo 4

Agora precisamos calcular J=\int e^{3x}\sin 4x\,dx. Vamos aplicar integração por partes novamente a J. Escolha análoga:
u = e^{3x},\qquad dv = \sin 4x\,dx.
Então
du = 3e^{3x}\,dx,\qquad v = \int \sin 4x\,dx = -\frac{1}{4}\cos 4x.
Aplicando a fórmula:
J = uv - \int v\,du = e^{3x}\left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right) - \int \left(-\frac{1}{4}\cos 4x\right)3e^{3x}\,dx.
Simplificando:
J = -\frac{1}{4}e^{3x}\cos 4x + \frac{3}{4}\int e^{3x}\cos 4x\,dx.
Em termos de I, isto é
J = -\frac{1}{4}e^{3x}\cos 4x + \frac{3}{4}I.

Passo 5

Volte para a expressão de I encontrada no Passo 3 e substitua J:
I=\frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x - \frac{3}{4}J.
Substituindo J:
I=\frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x - \frac{3}{4}\left(-\frac{1}{4}e^{3x}\cos 4x + \frac{3}{4}I\right).
Agora vamos desenvolver e organizar os termos. Primeiro expandir:
I=\frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x + \frac{3}{16}e^{3x}\cos 4x - \frac{9}{16}I.
Agora somamos \frac{9}{16}I aos dois lados para isolar I:
I + \frac{9}{16}I = \frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x + \frac{3}{16}e^{3x}\cos 4x.
O lado esquerdo soma:
\left(1+\frac{9}{16}\right)I = \frac{25}{16}I.
Portanto
\frac{25}{16}I = \frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x + \frac{3}{16}e^{3x}\cos 4x.

Passo 6

Isolando I:
I = \frac{16}{25}\left(\frac{1}{4}e^{3x}\sin 4x + \frac{3}{16}e^{3x}\cos 4x\right).
Podemos fatorar e^{3x} e simplificar as constantes dentro:
I = \frac{16}{25}e^{3x}\left(\frac{1}{4}\sin 4x + \frac{3}{16}\cos 4x\right).
Calcule cada coeficiente:
\frac{16}{25}\cdot\frac{1}{4}=\frac{4}{25},\qquad \frac{16}{25}\cdot\frac{3}{16}=\frac{3}{25}.
Assim
I = e^{3x}\left(\frac{4}{25}\sin 4x + \frac{3}{25}\cos 4x\right) + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Vamos fazer uma verificação rápida por derivação (apenas para confirmar). Derivando
F(x)=e^{3x}\left(\frac{4}{25}\sin 4x + \frac{3}{25}\cos 4x\right),
usamos produto e derivadas de seno e cosseno; ao final obtém-se F'(x)=e^{3x}\cos 4x, então F é de fato uma primitiva correta. (Detalhar a derivada é trabalho mecânico de produto e regra da cadeia; confie nesta checagem.)

Resposta

\int e^{3x}\cos 4x\,dx = e^{3x}\left(\frac{4}{25}\sin 4x + \frac{3}{25}\cos 4x\right) + C

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