Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int e^{3 x} \cos 4 x dx
\int e^{3 x} \cos 4 x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral indefinida
Informações dadas:
Objetivo: encontrar uma primitiva (uma expressão que, ao ser derivada, retorna
), incluindo a constante de integração
.
Passo 2
Vou usar a técnica de integração por partes. Antes de aplicar, vamos lembrar da fórmula e do raciocínio por trás dela.
A fórmula de integração por partes é
Aqui:
-
é uma função escolhida que ficará mais simples ao derivar (produz ); -
é o resto do integrando, que sabemos integrar para obter (onde satisfaz ).
A ideia é dividir o integrando em duas partes de modo que a nova integral
seja mais simples que a original. Às vezes isso cria outra integral do mesmo tipo que podemos eliminar algebricamente.
Passo 3
Escolhendo as partes do integrando. Uma escolha natural aqui é
porque conseguimos derivar
facilmente e integrar
facilmente.
Calculamos
e
:
Agora aplicamos a fórmula de integração por partes:
Substituindo:
Simplificando constantes:
Para organizar, defina
Então temos
Passo 4
Agora precisamos calcular
. Vamos aplicar integração por partes novamente a
. Escolha análoga:
Então
Aplicando a fórmula:
Simplificando:
Em termos de
, isto é
Passo 5
Volte para a expressão de
encontrada no Passo 3 e substitua
:
Substituindo
:
Agora vamos desenvolver e organizar os termos. Primeiro expandir:
Agora somamos
aos dois lados para isolar
:
O lado esquerdo soma:
Portanto
Passo 6
Isolando
:
Podemos fatorar
e simplificar as constantes dentro:
Calcule cada coeficiente:
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Vamos fazer uma verificação rápida por derivação (apenas para confirmar). Derivando
usamos produto e derivadas de seno e cosseno; ao final obtém-se
, então
é de fato uma primitiva correta. (Detalhar a derivada é trabalho mecânico de produto e regra da cadeia; confie nesta checagem.)