Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \operatorname{arctg} x dx
\int x \operatorname{arctg} x dx
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
Informações dadas e objetivo:
- A função a integrar é o produto de
por . - Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração
. - Não há outras restrições ou parâmetros no problema.
Passo 2
Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, vou te lembrar a fórmula e de onde ela vem, de modo bem didático.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se
e
são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
Integramos ambos os lados em relação a
e obtemos a identidade (a fórmula de integração por partes)
Aqui:
-
é uma função que escolhemos (escrevemos ), -
é o restante do integrando (escrevemos ), -
é a derivada de vezes , isto é , -
é uma primitiva de , ou seja .
A ideia prática: escolhemos
de modo que
seja mais simples (ou que facilite a integral que resta), e escolhemos
que seja fácil de integrar para obter
.
Passo 3
Escolha de
e
— e o porquê (dica prática que sempre funciona):
- Quando aparece uma função “complicada” como
, é habitual escolher essa função como , porque sua derivada é simples: . - O restante
é fácil de integrar, então escolhemos .
Portanto tomamos
Agora calculamos
e
:
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes
, obtemos
Escrevendo de forma mais limpa,
Passo 5
Agora simplificamos a integral
. Uma estratégia simples é fazer uma divisão algébrica:
Portanto
Passo 6
Calculamos as duas integrais conhecidas:
-
. -
(essa é a primitiva clássica da função ).
Assim
Passo 7
Voltando à expressão do Passo 4, substituímos:
onde
é a constante de integração. Agora distribuímos o
:
Agrupando os termos com
:
Passo 8
Verificação (rápida): se derivarmos a expressão final com relação a
, usando a regra do produto e
, recuperamos
. Isso confirma que a primitiva está correta.