Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x \operatorname{arctg} x dx

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a integral indefinida
\int x \operatorname{arctg} x \, dx.
Informações dadas e objetivo:
  • A função a integrar é o produto de x por \operatorname{arctg} x.
  • Queremos uma primitiva (integral indefinida), portanto o resultado terá uma constante de integração C.
  • Não há outras restrições ou parâmetros no problema.

Passo 2

Vamos usar a técnica de integração por partes. Primeiro, vou te lembrar a fórmula e de onde ela vem, de modo bem didático.
A fórmula de integração por partes vem da regra do produto para derivadas. Se u=u(x) e v=v(x) são funções diferenciáveis, a regra do produto diz
\frac{d}{dx}\big(u v\big)=u\frac{dv}{dx}+v\frac{du}{dx}.
Integramos ambos os lados em relação a x e obtemos a identidade (a fórmula de integração por partes)
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função que escolhemos (escrevemos u=u(x)),
  • dv é o restante do integrando (escrevemos dv=v'(x)\,dx),
  • du é a derivada de u vezes dx, isto é du=u'(x)\,dx,
  • v é uma primitiva de dv, ou seja v=\int dv.
A ideia prática: escolhemos u de modo que du seja mais simples (ou que facilite a integral que resta), e escolhemos dv que seja fácil de integrar para obter v.

Passo 3

Escolha de u e dv — e o porquê (dica prática que sempre funciona):
  • Quando aparece uma função “complicada” como \operatorname{arctg} x, é habitual escolher essa função como u, porque sua derivada é simples: \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg} x=\dfrac{1}{1+x^2}.
  • O restante x\,dx é fácil de integrar, então escolhemos dv=x\,dx.
Portanto tomamos
u=\operatorname{arctg} x,\qquad dv = x\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{1}{1+x^2}\,dx, \qquad v = \int x\,dx = \frac{x^2}{2}.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes \int u\,dv = u v - \int v\,du, obtemos
\int x\operatorname{arctg} x\,dx = \left(\operatorname{arctg} x\right)\cdot\frac{x^2}{2} \;-\; \int \frac{x^2}{2}\cdot\frac{1}{1+x^2}\,dx.
Escrevendo de forma mais limpa,
\int x\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^2}{2}\operatorname{arctg} x \;-\; \frac{1}{2}\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx.

Passo 5

Agora simplificamos a integral \displaystyle \int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx. Uma estratégia simples é fazer uma divisão algébrica:
\frac{x^2}{1+x^2}=\frac{x^2+1-1}{1+x^2}=1-\frac{1}{1+x^2}.
Portanto
\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx = \int\left(1-\frac{1}{1+x^2}\right)dx = \int 1\,dx - \int\frac{1}{1+x^2}\,dx.

Passo 6

Calculamos as duas integrais conhecidas:
  • \displaystyle \int 1\,dx = x.
  • \displaystyle \int\frac{1}{1+x^2}\,dx = \operatorname{arctg} x (essa é a primitiva clássica da função 1/(1+x^2)).
Assim
\int\frac{x^2}{1+x^2}\,dx = x - \operatorname{arctg} x.

Passo 7

Voltando à expressão do Passo 4, substituímos:
\int x\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^2}{2}\operatorname{arctg} x - \frac{1}{2}\big(x - \operatorname{arctg} x\big) + C,
onde C é a constante de integração. Agora distribuímos o -\tfrac{1}{2}:
\int x\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{x^2}{2}\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2} + \frac{1}{2}\operatorname{arctg} x + C.
Agrupando os termos com \operatorname{arctg} x:
\int x\operatorname{arctg} x\,dx = \frac{1}{2}\big(x^2+1\big)\operatorname{arctg} x - \frac{x}{2} + C.

Passo 8

Verificação (rápida): se derivarmos a expressão final com relação a x, usando a regra do produto e \dfrac{d}{dx}\operatorname{arctg} x=\dfrac{1}{1+x^2}, recuperamos x\operatorname{arctg} x. Isso confirma que a primitiva está correta.

Resposta

\frac{1}{2}\big(x^{2}+1\big)\operatorname{arctg} x-\frac{x}{2}+C

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