Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} e^{x} dx
\int x^{2} e^{x} dx
Passo 1
O enunciado pede calcular a integral indefinida
Informações relevantes dadas:
Passo 2
Apresento a ferramenta que vou usar (fórmula e interpretação). A técnica é a integração por partes, cuja fórmula é
Explicando cada símbolo:
-
é uma função de que escolhemos, e é sua diferencial, isto é . -
é a outra parte do integrando escrita como algo vezes ; integramos para obter , isto é .
A ideia prática: escolhemospara que sua derivada seja mais simples; escolhemos para que seja fácil integrar e achar .
Passo 3
Escolha das partes e primeira aplicação. Aqui é conveniente escolher a parte polinomial como
, porque derivando ela simplifica:
Calculo
e
:
Agora aplico a fórmula
:
Escrevendo de forma mais limpa:
Passo 4
Calcular
— segunda integração por partes. Repetimos o mesmo raciocínio (polinomial como
):
Então
Aplicando a fórmula:
E
, logo
(Coloquei
apenas para lembrar que cada integral indefinida gera uma constante; no resultado final agrupamos tudo em uma única constante
.)
Passo 5
Substituo o resultado de
na expressão obtida no Passo 3:
Agora distribuo o
e simplifico:
Coloco
em evidência para ficar um resultado mais compacto:
Passo 6
Verificação rápida (bom hábito antes da prova): diferencio o resultado para checar se volto ao integrando. Use a regra do produto:
Somando os termos dentro dos colchetes:
portanto a derivada é
, que é exatamente o integrando. Resultado confirmado.