Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} e^{x} dx

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral indefinida
\int x^{2} e^{x}\,dx.
Informações relevantes dadas:
\text{integrando } x^{2}e^{x};\qquad\text{tipo: integral indefinida (precisa de }+C\text{).}

Passo 2

Apresento a ferramenta que vou usar (fórmula e interpretação). A técnica é a integração por partes, cuja fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Explicando cada símbolo:
  • u é uma função de x que escolhemos, e du é sua diferencial, isto é du = u'(x)\,dx.
  • dv é a outra parte do integrando escrita como algo vezes dx; integramos dv para obter v, isto é v=\int dv.
    A ideia prática: escolhemos u para que sua derivada du seja mais simples; escolhemos dv para que seja fácil integrar e achar v.

Passo 3

Escolha das partes e primeira aplicação. Aqui é conveniente escolher a parte polinomial como u, porque derivando ela simplifica:
u = x^{2},\qquad dv = e^{x}\,dx.
Calculo du e v:
du = 2x\,dx,\qquad v = \int e^{x}\,dx = e^{x}.
Agora aplico a fórmula \int u\,dv = uv - \int v\,du:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - \int e^{x}\cdot (2x\,dx).
Escrevendo de forma mais limpa:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\int x e^{x}\,dx.

Passo 4

Calcular \int x e^{x}\,dx — segunda integração por partes. Repetimos o mesmo raciocínio (polinomial como u):
u = x,\qquad dv = e^{x}\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = e^{x}.
Aplicando a fórmula:
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - \int e^{x}\,dx.
E \int e^{x}\,dx = e^{x}, logo
\int x e^{x}\,dx = x e^{x} - e^{x} + C_1.
(Coloquei C_1 apenas para lembrar que cada integral indefinida gera uma constante; no resultado final agrupamos tudo em uma única constante C.)

Passo 5

Substituo o resultado de \int x e^{x}\,dx na expressão obtida no Passo 3:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2\bigl(x e^{x} - e^{x}\bigr) + C.
Agora distribuo o -2 e simplifico:
\int x^{2} e^{x}\,dx = x^{2} e^{x} - 2x e^{x} + 2 e^{x} + C.
Coloco e^{x} em evidência para ficar um resultado mais compacto:
\int x^{2} e^{x}\,dx = e^{x}\bigl(x^{2} - 2x + 2\bigr) + C.

Passo 6

Verificação rápida (bom hábito antes da prova): diferencio o resultado para checar se volto ao integrando. Use a regra do produto:
\frac{d}{dx}\bigl[e^{x}(x^{2}-2x+2)\bigr] = e^{x}(x^{2}-2x+2) + e^{x}(2x-2).
Somando os termos dentro dos colchetes:
x^{2}-2x+2 + 2x-2 = x^{2},
portanto a derivada é e^{x}x^{2}, que é exatamente o integrando. Resultado confirmado.

Resposta

e^{x}\bigl(x^{2}-2x+2\bigr)+C

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