Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} \cos a x dx

Passo 1

O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função x^{2}\cos(ax), ou seja:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx.
Informações dadas: x é a variável de integração e a é um parâmetro constante (pode ser qualquer número real). Não foram dadas outras restrições sobre a.

Passo 2

Antes de começar, convém tratar a situação especial a=0, porque aí \cos(ax)=\cos(0)=1 e a integral é trivial:
\int x^{2}\cos(0)\,dx=\int x^{2}\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.
A partir de agora assumimos a\neq 0 para podermos dividir por a nas contas.

Passo 3

Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções u(x) e v(x),
\int u\,dv = u v - \int v\,du.
Aqui u é uma função que escolhemos para derivar (produz du) e dv é a parte que integramos (produz v). Uma boa regra prática: escolher u como uma função polinomial (porque sua derivada simplifica) e dv como a parte restante.

Passo 4

Aplicando isso à nossa integral, escolhemos
u = x^{2},\qquad dv = \cos(ax)\,dx.
Calculamos du e v:
du = 2x\,dx, \qquad v=\int \cos(ax)\,dx = \frac{1}{a}\sin(ax),
onde usei a antiderivada conhecida de \cos(ax) (válida porque assumimos a\neq 0).
Agora aplicamos a fórmula:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = u v - \int v\,du = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) - \int \frac{1}{a}\sin(ax)\cdot 2x\,dx.
Simplificando o fator constante:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) - \frac{2}{a}\int x\sin(ax)\,dx.
Chamemos a integral restante de J:
J=\int x\sin(ax)\,dx.

Passo 5

Para calcular J usamos integração por partes de novo. Escolhemos
u = x,\qquad dv=\sin(ax)\,dx.
Então
du = dx,\qquad v = \int \sin(ax)\,dx = -\frac{1}{a}\cos(ax).
Aplicando a fórmula:
J = u v - \int v\,du = x\left(-\frac{1}{a}\cos(ax)\right) - \int \left(-\frac{1}{a}\cos(ax)\right)\,dx.
Isso dá
J = -\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a}\int \cos(ax)\,dx = -\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a}\cdot\frac{1}{a}\sin(ax).
Portanto
J = -\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a^{2}}\sin(ax).

Passo 6

Voltamos à expressão para a integral original:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) - \frac{2}{a}J.
Substituindo J:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) - \frac{2}{a}\left(-\frac{x}{a}\cos(ax) + \frac{1}{a^{2}}\sin(ax)\right).
Distribuindo o -\frac{2}{a}:
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) + \frac{2x}{a^{2}}\cos(ax) - \frac{2}{a^{3}}\sin(ax).

Passo 7

Podemos deixar a resposta em uma forma levemente fatorada ou como está. A forma final, válida para a\neq 0, é
\int x^{2}\cos(ax)\,dx = \frac{x^{2}}{a}\sin(ax) + \frac{2x}{a^{2}}\cos(ax) - \frac{2}{a^{3}}\sin(ax) + C.
(O sinal +C indica a constante arbitrária de integração.) Se quiser, a parte em \sin(ax) pode ser combinada em um único coeficiente:
\frac{a^{2}x^{2}-2}{a^{3}}\sin(ax) + \frac{2x}{a^{2}}\cos(ax) + C.

Resposta

\displaystyle \text{Para }a\neq 0:\;\int x^{2}\cos(ax)\,dx=\frac{x^{2}}{a}\sin(ax)+\frac{2x}{a^{2}}\cos(ax)-\frac{2}{a^{3}}\sin(ax)+C.\n
\displaystyle \text{Para }a=0:\;\int x^{2}\cos(0)\,dx=\frac{x^{3}}{3}+C.

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