Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} \cos a x dx
\int x^{2} \cos a x dx
Passo 1
O enunciado pede para calcular a primitiva (antiderivada) da função
, ou seja:
Informações dadas:
é a variável de integração e
é um parâmetro constante (pode ser qualquer número real). Não foram dadas outras restrições sobre
.
Passo 2
Antes de começar, convém tratar a situação especial
, porque aí
e a integral é trivial:
A partir de agora assumimos
para podermos dividir por
nas contas.
Passo 3
Vamos usar a fórmula de integração por partes. Ela diz que, para funções
e
,
Aqui
é uma função que escolhemos para derivar (produz
) e
é a parte que integramos (produz
). Uma boa regra prática: escolher
como uma função polinomial (porque sua derivada simplifica) e
como a parte restante.
Passo 4
Aplicando isso à nossa integral, escolhemos
Calculamos
e
:
onde usei a antiderivada conhecida de
(válida porque assumimos
).
Agora aplicamos a fórmula:
Simplificando o fator constante:
Chamemos a integral restante de
:
Passo 5
Para calcular
usamos integração por partes de novo. Escolhemos
Então
Aplicando a fórmula:
Isso dá
Portanto
Passo 6
Voltamos à expressão para a integral original:
Substituindo
:
Distribuindo o
:
Passo 7
Podemos deixar a resposta em uma forma levemente fatorada ou como está. A forma final, válida para
, é
(O sinal
indica a constante arbitrária de integração.) Se quiser, a parte em
pode ser combinada em um único coeficiente: