Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} \ln x dx

Passo 1

O enunciado pede que calculemos a antiderivada (integral indefinida)
\int x^{2}\ln x\,dx.
Informações dadas e relevantes:
  • A função integranda é x^{2}\ln x, produto de um polinômio x^{2} e do logaritmo natural \ln x.
  • Como aparece \ln x, a expressão faz sentido para x>0 (vamos considerar x>0 ao longo da resolução).
  • A atividade exige usar a técnica de integração por partes (isto aparece no enunciado).

Passo 2

Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa.
A fórmula é
\int u\,dv = uv - \int v\,du.
Aqui:
  • u é uma função escolhida cuja derivada du seja mais simples que u;
  • dv é a outra parte da integral, que deve ser fácil de integrar para obter v=\int dv;
  • du significa a derivada de u multiplicada por dx, ou seja, du = u'(x)\,dx;
  • v é a primitiva de dv, ou seja, v(x)=\int dv.
Rápida justificativa (intuição): a fórmula vem da regra do produto da diferenciação: (uv)'=u'v+uv'. Integrando ambos os lados obtemos a fórmula acima.

Passo 3

Escolha de u e dv. Regra prática (heurística) usada em cálculos: quando há \ln x é comum escolher \ln x como u, porque sua derivada fica simples; a outra parte fica como dv.
Portanto definimos
u=\ln x,\qquad dv = x^{2}\,dx.
Agora calculamos du e v:
du = \frac{d}{dx}(\ln x)\,dx = \frac{1}{x}\,dx,
v = \int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Observação: essas primitivas são válidas para x>0, compatível com o domínio do logaritmo.

Passo 4

Aplicando a fórmula de integração por partes:
\int x^{2}\ln x\,dx = uv - \int v\,du.
Substituindo u, v e du obtém-se
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}\,dx.

Passo 5

Simplifique o integrando restante dentro da integral:
\frac{x^{3}}{3}\cdot\frac{1}{x}=\frac{x^{2}}{3}.
Logo
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \int \frac{x^{2}}{3}\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\int x^{2}\,dx.

Passo 6

Calcule a integral simples que sobra:
\int x^{2}\,dx = \frac{x^{3}}{3}.
Assim
\int x^{2}\ln x\,dx = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{1}{3}\cdot\frac{x^{3}}{3} + C = \frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C,
onde C é a constante de integração.

Passo 7

Podemos factorar para uma forma alternativa e checar rapidamente por derivação:
Fatorando \dfrac{x^{3}}{9} temos
\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} = \frac{x^{3}}{9}\bigl(3\ln x - 1\bigr).
Verificação por derivada: derivando \dfrac{x^{3}}{3}\ln x - \dfrac{x^{3}}{9} usando regra do produto e simplificando, recuperamos x^{2}\ln x, confirmando a antiderivada.

Resposta

\frac{x^{3}}{3}\ln x - \frac{x^{3}}{9} + C

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