Resolver as seguintes integrais usando a técnica de integração por partes.
\int x^{2} \ln x dx
\int x^{2} \ln x dx
Passo 1
O enunciado pede que calculemos a antiderivada (integral indefinida)
Informações dadas e relevantes:
- A função integranda é
, produto de um polinômio e do logaritmo natural . - Como aparece
, a expressão faz sentido para (vamos considerar ao longo da resolução). - A atividade exige usar a técnica de integração por partes (isto aparece no enunciado).
Passo 2
Apresento a fórmula de integração por partes e explico o que cada termo significa.
A fórmula é
A fórmula é
Aqui:
-
é uma função escolhida cuja derivada seja mais simples que ; -
é a outra parte da integral, que deve ser fácil de integrar para obter ; -
significa a derivada de multiplicada por , ou seja, ; -
é a primitiva de , ou seja, .
Rápida justificativa (intuição): a fórmula vem da regra do produto da diferenciação:
. Integrando ambos os lados obtemos a fórmula acima.
Passo 3
Escolha de
e
. Regra prática (heurística) usada em cálculos: quando há
é comum escolher
como
, porque sua derivada fica simples; a outra parte fica como
.
Portanto definimos
Portanto definimos
Agora calculamos
e
:
Observação: essas primitivas são válidas para
, compatível com o domínio do logaritmo.
Passo 4
Aplicando a fórmula de integração por partes:
Substituindo
,
e
obtém-se
Passo 5
Simplifique o integrando restante dentro da integral:
Logo
Passo 6
Calcule a integral simples que sobra:
Assim
onde
é a constante de integração.
Passo 7
Podemos factorar para uma forma alternativa e checar rapidamente por derivação:
Fatorando temos
Fatorando
Verificação por derivada: derivando
usando regra do produto e simplificando, recuperamos
, confirmando a antiderivada.