Seja z=z(x) uma função diferenciável tal que z^prime-zx=x ln x. Calcule (zx)^prime.

Passo 1

O enunciado pede para calcular
(z/x)' sabendo que z'(x) - z(x)x = x ln x. O conteúdo envolve regras de diferenciação, especialmente a derivada de quociente, e vamos usar a relação dada para simplificar.

Passo 2

Para achar (z/x)' usamos a regra do quociente. Se temos duas funções u(x)=z(x) e v(x)=x, então
gl(uvgr)' = u'v - u v'v^2
Aplicando aqui fica
l(tfraczxr)' = z'cdot x - zcdot 1x^2 = x z' - zx^2

Passo 3

Da relação fornecida z'(x) - tfracz(x)x = x ln x, multiplicamos ambos os lados por x para obter
x z' - z = x^2 ln x

Passo 4

Substituindo esse resultado em (z/x)' = tfracx z' - zx^2 temos
l(tfraczxr)' = x^2 ln xx^2 = ln x

Resposta

ln x

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