Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
para
Passo 1
O enunciado dá a equação diferencial
e a condição de contorno
.
Pergunta: encontrar as soluções da equação diferencial que satisfaçam a condição
.
Pergunta: encontrar as soluções
Informações relevantes:
Passo 2
Vamos resolver a equação diferencial geral. Método: separar a solução geral em solução complementar (homogênea) mais uma particular,
onde
resolve a homogênea associada e
é uma solução particular da não-homogênea.
Explicação da ideia: para EDO linear com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea (que contém os parâmetros arbitrários) e uma solução particular de qualquer função do lado direito. Depois aplicamos as condições para fixar parâmetros.
Passo 3
Resolver a homogênea associada:
Procuramos soluções do tipo
. Substituindo obtemos a equação característica
Resolvendo a característica:
Logo a solução geral da homogênea é
onde
e
são constantes arbitrárias.
Breve explicação: cada raiz
da equação característica gera uma solução
; para raízes distintas, as exponenciais correspondentes formam uma base de soluções.
Passo 4
Encontrar uma solução particular
da equação completa
.
Observação importante (ressonância): o lado direito é
, que é solução da homogênea (porque
aparece em
com
). Nesses casos, ao usar o método dos coeficientes a determinar, devemos multiplicar a forma tentativa por
para compensar a ressonância.
Portanto, tentamos uma solução particular da forma
com
constante a determinar.
Passo 5
Calcular derivadas de
e substituir na equação para achar
.
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Agora substituímos em
:
Queremos isso igual ao lado direito
, então
Assim a solução particular é
Passo 6
Escrever a solução geral da equação não-homogênea:
Agora aplicamos a condição
. Substituindo
:
Escrevendo mais limpo:
Multiplicando por
para simplificar:
Isso fornece uma relação entre
e
:
Passo 7
Conclusão sobre existência/uniqueness: como a equação é de segunda ordem precisamos de duas condições (por exemplo
e
ou
e
) para determinar unicamente
e
. Aqui foi dada apenas uma condição
, então obtemos uma família de soluções (um parâmetro livre). Substituindo
encontrado em
e simplificando, escrevemos a família de soluções em função de um único parâmetro
:
Substituindo
em
:
Agrupando os termos com
:
Observação:
, então podemos escrever de forma mais compacta.