Resolver os seguintes problemas de valor inicial e de contorno
y^{\prime \prime}-y=e^{x} para y(1)=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial
y''-y=e^{x}
e a condição de contorno \;y(1)=0.
Pergunta: encontrar as soluções y(x) da equação diferencial que satisfaçam a condição \;y(1)=0.
Informações relevantes:
\text{EQUAÇÃO: }y''-y=e^{x},\qquad \text{CONDIÇÃO: }y(1)=0.ÇÃÇÃ

Passo 2

Vamos resolver a equação diferencial geral. Método: separar a solução geral em solução complementar (homogênea) mais uma particular,
y(x)=y_h(x)+y_p(x),
onde y_h resolve a homogênea associada e y_p é uma solução particular da não-homogênea.
Explicação da ideia: para EDO linear com coeficientes constantes, a solução geral é soma da solução da homogênea (que contém os parâmetros arbitrários) e uma solução particular de qualquer função do lado direito. Depois aplicamos as condições para fixar parâmetros.

Passo 3

Resolver a homogênea associada:
y''-y=0.
Procuramos soluções do tipo y=e^{rx}. Substituindo obtemos a equação característica
r^{2}-1=0.
Resolvendo a característica:
r=\pm1.
Logo a solução geral da homogênea é
y_h(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x},
onde C_{1} e C_{2} são constantes arbitrárias.
Breve explicação: cada raiz r da equação característica gera uma solução e^{rx}; para raízes distintas, as exponenciais correspondentes formam uma base de soluções.

Passo 4

Encontrar uma solução particular y_p da equação completa \;y''-y=e^{x}.
Observação importante (ressonância): o lado direito é e^{x}, que é solução da homogênea (porque e^{x} aparece em y_h com r=1). Nesses casos, ao usar o método dos coeficientes a determinar, devemos multiplicar a forma tentativa por x para compensar a ressonância.
Portanto, tentamos uma solução particular da forma
y_p(x)=A x e^{x},
com A constante a determinar.

Passo 5

Calcular derivadas de y_p e substituir na equação para achar A.
Primeira derivada:
y_p'(x)=A e^{x} + A x e^{x}=A e^{x}(1+x).
Segunda derivada:
y_p''(x)=A e^{x}(1+x)+A e^{x}=A e^{x}(2+x).
Agora substituímos em \;y''-y:
y_p''-y_p = A e^{x}(2+x) - A x e^{x} = A e^{x}(2+x-x)=2A e^{x}.
Queremos isso igual ao lado direito e^{x}, então
2A e^{x}=e^{x}\quad\Rightarrow\quad 2A=1\quad\Rightarrow\quad A=\tfrac{1}{2}.
Assim a solução particular é
y_p(x)=\tfrac{1}{2}x e^{x}.

Passo 6

Escrever a solução geral da equação não-homogênea:
y(x)=y_h(x)+y_p(x)=C_{1}e^{x}+C_{2}e^{-x}+\tfrac{1}{2}x e^{x}.
Agora aplicamos a condição \;y(1)=0. Substituindo x=1:
y(1)=C_{1}e^{1}+C_{2}e^{-1}+\tfrac{1}{2}\cdot1\cdot e^{1}=0.
Escrevendo mais limpo:
e\bigl(C_{1}+\tfrac{1}{2}\bigr)+C_{2}e^{-1}=0.
Multiplicando por e^{-1} para simplificar:
C_{1}+\tfrac{1}{2}+C_{2}e^{-2}=0.
Isso fornece uma relação entre C_{1} e C_{2}:
C_{1}=-\tfrac{1}{2}-C_{2}e^{-2}.

Passo 7

Conclusão sobre existência/uniqueness: como a equação é de segunda ordem precisamos de duas condições (por exemplo y(1) e y'(1) ou y(a) e y(b)) para determinar unicamente C_{1} e C_{2}. Aqui foi dada apenas uma condição \;y(1)=0, então obtemos uma família de soluções (um parâmetro livre). Substituindo C_{1} encontrado em y(x) e simplificando, escrevemos a família de soluções em função de um único parâmetro C\equiv C_{2}:
Substituindo C_{1}=-\tfrac{1}{2}-C e^{-2} em y(x):
y(x)=\bigl(-\tfrac{1}{2}-C e^{-2}\bigr)e^{x}+C e^{-x}+\tfrac{1}{2}x e^{x}.
Agrupando os termos com e^{x}:
y(x)=\bigl(-\tfrac{1}{2}+\tfrac{x}{2}\bigr)e^{x}+C\bigl(e^{-x}-e^{x-2}\bigr).
Observação: \;-\tfrac{1}{2}+\tfrac{x}{2}=\tfrac{x-1}{2}, então podemos escrever de forma mais compacta.

Resposta

y(x)=\frac{x-1}{2}\,e^{x}+C\bigl(e^{-x}-e^{x-2}\bigr),\qquad C\in\mathbb{R}.

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