Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
Passo 1
Enunciado e dados: queremos achar as soluções gerais da equação diferencial
O que o enunciado pede: encontrar a família de funções
que satisfaçam a equação para os
em que a equação faz sentido. Informação importante: a equação envolve divisão por
quando colocada na forma padrão, então teremos que tratar
inicialmente (poderemos analisar depois se alguma solução estende-se para
). Aqui
significa a derivada de
em relação a
.
Passo 2
Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo por
, assumindo por enquanto
):
Explicação do passo: escrevemos a equação assim porque existe um método direto para equações do tipo
, que consiste em multiplicar por um fator integrante
. Esse fator transforma o lado esquerdo numa derivada exata de
. Aqui
.
Passo 3
Calcular o fator integrante
. Temos
onde usei
porque
e o sinal não altera a expressão do fator na multiplicação; entretanto, é importante lembrar que esta derivação exige
. O princípio por trás: multiplicando a equação padronizada por
obtemos
e o lado esquerdo passa a ser a derivada de
.
Passo 4
Multiplicando por
obtemos
Observação e verificação: a expressão à esquerda é exatamente a derivada do produto
, pois
Portanto podemos escrever
Passo 5
Integrar ambos os lados em
. À direita usamos a substituição
,
, que dá
onde
é a constante de integração. Assim
Isolando
obtemos a família geral de soluções (para
):
Aqui
é uma constante arbitrária real.
Passo 6
Discussão sobre domínio e possível extensão em
. A solução geral acima está escrita para
. Em geral não se pode definir
a partir dessa expressão porque há divisão por
. No entanto existe um caso especial: escolher
faz com que a singularidade seja removível, pois então
Expandindo
vemos que
quando
, logo definindo
obtemos uma função diferenciável em
que também satisfaz a equação original no ponto
(pois
). Portanto, dentre a família geral, apenas a escolha
permite estender a solução para todo
; as demais soluções são definidas apenas em intervalos que não contêm
(por exemplo
ou
).
Resposta
Para