Achar as soluções gerais das seguintes equações diferenciais.
x y^{\prime}+2 y=e^{x^{2}}

Passo 1

Enunciado e dados: queremos achar as soluções gerais da equação diferencial
x\,y'(x)+2\,y(x)=e^{x^{2}}.
O que o enunciado pede: encontrar a família de funções y(x) que satisfaçam a equação para os x em que a equação faz sentido. Informação importante: a equação envolve divisão por x quando colocada na forma padrão, então teremos que tratar x\neq0 inicialmente (poderemos analisar depois se alguma solução estende-se para x=0). Aqui y'(x) significa a derivada de y em relação a x.

Passo 2

Colocar a equação na forma padrão de uma equação linear de primeira ordem (dividindo por x, assumindo por enquanto x\neq0):
y'(x)+\frac{2}{x}\,y(x)=\frac{e^{x^{2}}}{x}.
Explicação do passo: escrevemos a equação assim porque existe um método direto para equações do tipo y'+P(x)y=Q(x), que consiste em multiplicar por um fator integrante \mu(x)=e^{\int P(x)\,dx}. Esse fator transforma o lado esquerdo numa derivada exata de \mu(x)y(x). Aqui P(x)=\dfrac{2}{x}.

Passo 3

Calcular o fator integrante \mu(x). Temos
\mu(x)=\exp\!\left(\int \frac{2}{x}\,dx\right)=\exp\!\left(2\ln|x|\right)=|x|^{2}=x^{2},
onde usei x^{2} porque x^{2}=|x|^{2} e o sinal não altera a expressão do fator na multiplicação; entretanto, é importante lembrar que esta derivação exige x\neq0. O princípio por trás: multiplicando a equação padronizada por \mu(x) obtemos
\mu(x)y'(x)+\mu(x)\frac{2}{x}y(x)=\mu(x)\frac{e^{x^{2}}}{x},
e o lado esquerdo passa a ser a derivada de \mu(x)y(x).

Passo 4

Multiplicando por \mu(x)=x^{2} obtemos
x^{2}y'(x)+2x\,y(x)=x\,e^{x^{2}}.
Observação e verificação: a expressão à esquerda é exatamente a derivada do produto x^{2}y(x), pois
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=2x\,y(x)+x^{2}y'(x).
Portanto podemos escrever
\frac{d}{dx}\big(x^{2}y(x)\big)=x\,e^{x^{2}}.

Passo 5

Integrar ambos os lados em x. À direita usamos a substituição u=x^{2}, du=2x\,dx, que dá
\int x\,e^{x^{2}}\,dx=\frac{1}{2}\int e^{u}\,du=\frac{1}{2}e^{u}+\widetilde{C}=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\widetilde{C},
onde \widetilde{C} é a constante de integração. Assim
x^{2}y(x)=\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\widetilde{C}.
Isolando y(x) obtemos a família geral de soluções (para x\neq0):
y(x)=\frac{1}{x^{2}}\left(\frac{1}{2}e^{x^{2}}+\widetilde{C}\right).
Aqui \widetilde{C} é uma constante arbitrária real.

Passo 6

Discussão sobre domínio e possível extensão em x=0. A solução geral acima está escrita para x\neq0. Em geral não se pode definir y(0) a partir dessa expressão porque há divisão por x^{2}. No entanto existe um caso especial: escolher \widetilde{C}=-\tfrac{1}{2} faz com que a singularidade seja removível, pois então
y(x)=\frac{1}{2}\,\frac{e^{x^{2}}-1}{x^{2}}\quad(x\neq0).
Expandindo e^{x^{2}}=1+x^{2}+O(x^{4}) vemos que y(x)=\tfrac{1}{2}+O(x^{2}) quando x\to0, logo definindo y(0)=\tfrac{1}{2} obtemos uma função diferenciável em x=0 que também satisfaz a equação original no ponto x=0 (pois 0\cdot y'(0)+2y(0)=2\cdot\tfrac{1}{2}=1=e^{0}). Portanto, dentre a família geral, apenas a escolha \widetilde{C}=-\tfrac{1}{2} permite estender a solução para todo \mathbb{R}; as demais soluções são definidas apenas em intervalos que não contêm 0 (por exemplo (0,\infty) ou (-\infty,0)).

Resposta

y(x)=\dfrac{1}{x^{2}}\!\left(\dfrac{1}{2}e^{x^{2}}+C\right),\quad C\in\mathbb{R},\\ x\neq0\n
Para C=-\dfrac{1}{2} a solução estende-se por x=0 definindo y(0)=\dfrac{1}{2}, obtendo-se assim uma solução válida em todo \mathbb{R}.

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