[1,0 ponto] (3) Utilize a regra da cadeia para encontrar o valor de d w / d t em t=0, onde w=x y+z, x=e^{t} \cos (t), y=e^{t} \operatorname{sen}(t) e z=t.

Passo 1

O enunciado pede para encontrar o valor de \dfrac{dw}{dt} em t=0. As informações dadas são:
w = x y + z,
x = e^{t}\cos(t),
y = e^{t}\sin(t),
z = t.

Passo 2

Vamos usar a regra da cadeia para funções compostas: quando w depende de x,y,z e cada uma destas depende de t, a derivada total de w em relação a t é dada por
\frac{dw}{dt}=\frac{\partial w}{\partial x}\frac{dx}{dt}+\frac{\partial w}{\partial y}\frac{dy}{dt}+\frac{\partial w}{\partial z}\frac{dz}{dt}.
Explicando: \dfrac{\partial w}{\partial x} é a derivada de w quando só x varia (mantendo y,z constantes), e \dfrac{dx}{dt} é a taxa de variação de x em relação a t. A fórmula soma as contribuições de cada variável que depende de t.

Passo 3

Calculo as derivadas parciais de w. Como w=xy+z:
\frac{\partial w}{\partial x}=y,\qquad \frac{\partial w}{\partial y}=x,\qquad \frac{\partial w}{\partial z}=1.
Aqui explico: derivar xy em relação a x trata y como constante, dando y; derivar em relação a y x; derivar z em relação a z 1.

Passo 4

Agora calculo \dfrac{dx}{dt},\dfrac{dy}{dt},\dfrac{dz}{dt}.
Usando regra do produto e derivadas básicas ( \dfrac{d}{dt}e^{t}=e^{t}, \dfrac{d}{dt}\cos t=-\sin t, \dfrac{d}{dt}\sin t=\cos t):
x=e^{t}\cos t \quad\Rightarrow\quad \frac{dx}{dt}=e^{t}\cos t + e^{t}(-\sin t)=e^{t}(\cos t-\sin t).
y=e^{t}\sin t \quad\Rightarrow\quad \frac{dy}{dt}=e^{t}\sin t + e^{t}\cos t = e^{t}(\sin t+\cos t).
z=t \quad\Rightarrow\quad \frac{dz}{dt}=1.

Passo 5

Substituindo as parciais e as derivadas na fórmula da regra da cadeia, obtemos a expressão geral
\frac{dw}{dt}=y\cdot e^{t}(\cos t-\sin t)+x\cdot e^{t}(\sin t+\cos t)+1.
Esta é a taxa de variação de w em função de t, antes de avaliar em um valor específico de t.

Passo 6

Agora avalio tudo em t=0. Primeiro os valores das funções em t=0:
e^{0}=1,\qquad \cos 0=1,\qquad \sin 0=0.
Logo
x(0)=e^{0}\cos 0 = 1\cdot 1 = 1,
y(0)=e^{0}\sin 0 = 1\cdot 0 = 0,
\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}=e^{0}(\cos 0-\sin 0)=1\cdot(1-0)=1,
\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}=e^{0}(\sin 0+\cos 0)=1\cdot(0+1)=1,
\frac{dz}{dt}\Big|_{t=0}=1.

Passo 7

Substituo esses valores na expressão da regra da cadeia para obter \dfrac{dw}{dt} em t=0:
\frac{dw}{dt}\Big|_{t=0}=y(0)\cdot\frac{dx}{dt}\Big|_{t=0}+x(0)\cdot\frac{dy}{dt}\Big|_{t=0}+\frac{dz}{dt}\Big|_{t=0}=0\cdot 1 + 1\cdot 1 + 1.

Resposta

2

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