Resolver os seguintes sistemas de equações diferenciais ordinárias e calcule
, onde
é sucessivamente dado por:
\left(
\right)
\left(
Passo 1
O que o enunciado pede e o que foi dado.
- Pede-se para resolver o sistema de equações diferenciais ordinárias
onde
e a matriz
é
- As duas coisas que vamos fornecer: (i) uma expressão para
(a exponencial matricial), e (ii) a solução geral do sistema (em termos de constantes determinadas pela condição inicial).]
Passo 2
Estratégia e forma básica de cálculo da exponencial matricial.
- Definição útil: para qualquer matriz quadrada
, a exponencial matricial é dada pela série de potências
- Uma técnica prática é decompor
numa soma de matrizes que comutam entre si e cuja exponencial seja simples. Observa-se que podemos escrever como
onde
- Nota importante:
comuta com qualquer matriz, logo comuta com . Assim
Portanto basta calcular
.]
Passo 3
Propriedade fundamental de
e cálculo de
via série.
- Calcule
:
- Consequência: potências de
repetem com período 4:
- Use a série de Taylor separando termos pares e ímpares:
Como
e
, obtemos
- Reconhecendo as séries de seno e cosseno:
logo
Passo 4
Expansão matricial explícita de
.
- Usando
e a expressão anterior:
- Substituindo
e em forma matricial:
- Portanto a exponencial matricial final é
Passo 5
Obter a solução geral
do sistema a partir de
.
- A solução geral do sistema linear homogêneo é
onde
são as constantes determinadas pela condição inicial. Se escrevermos
e
, então
- Escrevendo componentes explicitamente:
- Verificação (rascunho rápido): ao substituir na equação original verifica-se que essas expressões satisfazem
. Também é intuitivo: temos um decaimento exponencial multiplicando uma rotação harmônica (coseno/seno) com frequência , coerente com autovalores .]
Passo 6
Interpretação rápida e dicas para prova.
- A decomposição
foi chave porque transformou o problema em calcular com ; sempre que você reconhecer uma parte que é múltiplo da identidade mais uma matriz que satisfaça uma relação polinomial simples ( aqui), a série fica muito fácil. - Alternativa comum: calcular autovalores
e autovetores complexos e depois tomar partes reais; o resultado é equivalente e dá a forma vezes rotação por . - Em prova, se a matriz tem forma
com , use diretamente